四平方の定理 ~三平方の定理の拡張~

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四平方の定理 ~三平方の定理の拡張~

四平方の定理

三平方の定理というと, 直角三角形において,

(斜辺の2乗) = (他の2辺の2乗の和)

が成り立つという有名な定理です.

ここでは, 三平方の定理(平面上の定理)を3次元に拡張した, 四平方の定理を紹介します.

定理

3つの面が直角三角形で, 1つの頂点に直角が集まっている三角錐を考えるとき,

直角三角形の面の面積を S_1, S_2, S_3, 残りのもう1つの面の面積を S とすると,

\begin{equation*} S_1^2+S_2^2+S_3^2 = S^2 \end{equation*}

が成り立つ.

例.

右図のような, 直角をつくる3辺の長さがそれぞれ 1, 1, 2 の三角錐を考えます. 

直角三角形の面の面積は,

\begin{eqnarray*} \triangle{OAB} &=& \dfrac{1}{2}\\ \triangle{OBC} &=& 1\\ \triangle{OCA} &=& 1 \end{eqnarray*}

この三角錐の展開図は右のような正方形になり,

\begin{equation*} \triangle{ABC} = 2\times 2 - \dfrac{1}{2}-1-1 = \dfrac{3}{2} \end{equation*}

よって,

\begin{equation*} \left(\frac{1}{2}\right)^2+1^2+1^2 &=& \frac{1}{4}+1+1\\ &=& \frac{9}{4}\\ &=& \left(\frac{3}{2}\right)^2 \end{equation*}

となり, 定理を満たしています.

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