自作問題27. (中間値の定理)

この記事の所要時間: 249

問題.

自作問題の27番, 中間値の定理を利用する問題です.

問題. 

周期 \omega の連続な周期関数 f(x) について, 以下の条件(\ast)を満たす実数 p が存在することを示せ.

\begin{equation*} (\ast)\left\{\begin{array}{ll} 0\leqq p < \frac{\omega}{2} \\ f(p) = f(p+\frac{\omega}{2}) \end{array} \right. \end{equation*}

f(x)が周期 \omega の周期関数であるとは, 任意のxについて f(x)=f(x+\omega) が成り立つことである.

中間値の定理を使います.

中間値の定理

関数 f(x) が閉区間 [a, b] で連続で, f(a)f(b) の間にある数 k について,

\begin{equation*} f(c) = k\quad (a<c<b) \end{equation*}

となる c が存在する.

解答例.

\begin{equation*} g(x)=f(x+\frac{\omega}{2})-f(x) \end{equation*}

とおくと,

\begin{eqnarray*} g(x+\frac{\omega}{2})&=&f(x+\omega)-f(x+\frac{\omega}{2})\nonumber\\ &=& f(x)-f(x+\frac{\omega}{2})\nonumber\\ &=& -g(x) \end{eqnarray*}

が成り立つ.

x=0 のとき, g(0)=0 であれば, p=0 が条件(\ast)を満たす.

g(0)\neq0 であれば, (1)式より g(\frac{\omega}{2})=-g(0) であるから, g(0)g(\frac{\omega}{2}) は符号(正or負)が異なる. よって, 中間値の定理により, 0<p<\frac{\omega}{2}g(p)=0 を満たすpが存在する.

追記.

この問題には, 元ネタとなる次のような問題があります.

Q. 地球の赤道上の温度の分布が連続であるとします. このとき, 赤道上の地点で, 地球のちょうど裏側と同じ温度の地点が存在することを示せ.

(この問題の出典が分かる方がいたら教えてください. )

赤道上の温度の分布を f(x) とおくと今回の問題になります.

スポンサーリンク
sub2
sub2
  • このエントリーをはてなブックマークに追加