三角形の存在条件

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三角形の存在条件

三角形の存在条件とは

三角形の存在条件とは, 3つの数 a, b, c が与えられたときに, 3辺の長さがそれぞれ a, b, c であるような三角形が存在するための条件です.

定理. 3辺の長さがそれぞれ a, b, c > 0 である三角形が存在するための必要十分条件は,

\begin{equation*} |b-c| < a < b+c \end{equation*}

が成り立つことである.

もちろん, a, b, c を入れ替えた次の2つの不等式も等価な条件になります.

\begin{eqnarray*} |c-a| &<& b < c+a\\ |a-b| &<& c < a+b \end{eqnarray*}

特に, a > b > c > 0 である場合は, 左側の不等式は明らかに成り立つので,

\begin{equation*} a < b+c \end{equation*}

(短い2辺の和が残りの辺より長い)

のみ確認すればいいです.

例.

1. 3 + 4 > 6  であるから, 3辺の長さが 3, 4, 6 である三角形は存在する.

2. 3辺の長さが a^2-a, 2a, a-1 の三角形が存在するための条件を求める.

まず, a^2-a, 2a, a-1 がすべて正でないといけないので, a > 1.

存在条件を使って,

\begin{eqnarray*} |(a^2-a) - (a-1)| &<& 2a < (a^2-a) + (a-1)\\ a^2-2a+1=|a^2-2a+1|&<&2a<a^2-1 \end{eqnarray*}

a^2-2a+1=(a-1)^2\geqq 0 なので, 絶対値を外しました.

あとは, この不等式を解くと,

左側から, 2-\sqrt{3}<a<2+\sqrt{3}

右側から, a < 1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}<a

まとめると, a+\sqrt{2}<a<2+\sqrt{3} のとき三角形は存在します.

不等式を解くときに絶対値記号があるとややこしくなるので, 上のように絶対値を簡単に外せるように意識して定理の a, b, c にどの辺を当てはめるかを選ぶといいですね.

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