不等式の証明(自作問題18)

この記事の所要時間: 616

問題.

自作問題集の18番, 不等式の証明の問題です.

問題.

関数 f(x) はすべての整数 n に対し f(n)=2n-5 を満たし, すべての実数 x に対して f^\prime(x)>0 を満たす. 以下の問に答えよ.

(1) \displaystyle4x-8<\int_{x}^{x+2} f(t)\,dt<4x-4を示せ.

(2) \displaystyle5x-3<\int_{x}^{x+2} \{f(t)+f^{-1}(t)\}\,dt<5x+3を示せ. 但しf^{-1}(x)f(x)の逆関数である.

整数 n に対して f(n)=2n-5 となることを利用して, f(x) の値の範囲を考えていきます.

(2) では, f^{-1}(x) も単調増加となることを用いて(1)と同様の計算をします.

解答例.

(1)

実数 t に対して [t]t を超えない最大の整数を表すとすると, [t]\leq t<[t]+1.

(ガウス記号です!!)

f^\prime(x)>0 より f(x) は単調増加関数なので,

\begin{equation*} f([t])\leq f(t)<f([t]+1) \end{equation*}

[t] は整数なので, f([t])=2[t]-5,\,f([t]+1)=2([t]+1)-5=2[t]-3 であるから,

\begin{equation*} 2[t]-5\leq f(t)<2[t]-3 \end{equation*}

\begin{eqnarray*} \int_x^{x+2}\{2[t]-5\}dt<\int_x^{x+2} f(t)dt&<&\int_x^{x+2} \{2[t]-3\}\,dt\\ \therefore 2\int_x^{x+2}[t]\,dt-10<\int_x^{x+2} f(t)\,dt&<&2\int_x^{x+2}[t]\,dt-6 \end{eqnarray*}

ここで, x<t<x+2 の範囲で f(t)=2[t]-5 は常には成り立たないので, 等号は成り立たないことを用いています. さらに,

\begin{eqnarray*} \int_x^{x+2}[t]\,dt &=& \int_x^{[x]+1} [t]\,dt + \int_{[x]+1}^{[x]+2}[t]\,dt + \int_{[x]+2}^{x+2} [t]\,dt\\ &=& \int_x^{[x]+1} [x]\,dt + \int_{[x]+1}^{[x]+2}([x]+1)\,dt \\ & & \quad+ \int_{[x]+2}^{x+2} ([x]+2)\,dt\\ &=& ([x]+1-x)[x] + \{([x]+2)-([x]+1)\}([x]+1) \\ & & \quad+ \{(x+2)-([x]+2)\}([x]+2)\\ &=& 2x+1 \end{eqnarray*}

であるから, \displaystyle 2\int_x^{x+2}[t]\,dt-10=4x-8, \displaystyle 2\int_x^{x+2}[t]\,dt-6=4x-4 となり,

\begin{equation*} 4x-8<\int_x^{x+2}f(t)\,dt<4x-4 \end{equation*}

(2)

p(t)2p(t)-5\leq t<2\{p(t)+1\}-5=2p(t)-3 を満たす整数を表すとします.

\begin{equation*} \{f^{-1}(x)\}^\prime=\dfrac{1}{f^\prime(x)}>0 \end{equation}

より, 逆関数 f^{-1}(x) も単調増加関数なので,

\begin{equation*} f^{-1}(2p(t)-5)\leq f^{-1}(t)<f^{-1}(2p(t)-3) \end{equation*}

任意の整数nに対して f^{-1}(2n-5)=n が成り立つので,

\begin{equation*} p(t)\leq f^{-1}(t)<p(t)+1 \end{equation*}

\begin{eqnarray*} \int_x^{x+2} p(t)\,dt<\int_x^{x+2}f^{-1}(t)\,dt<\int_x^{x+2}\{p(t)+1\}\,dt\\ \therefore \int_x^{x+2}p(t)\,dt<\int_x^{x+2}f^{-1}(t)\,dt<\int_x^{x+2}p(t)\,dt+2 \end{eqnarray*}

ここで,

\begin{eqnarray*} \int_x^{x+2} p(t)\,dt &=& \int_x^{2p(x)-3}p(t)\,dt + \int_{2p(x)-3}^{x+2}p(t)\,dt\\ &=& \int_x^{2p(x)-3}p(x)\,dt + \int_{2p(x)-3}^{x+2} \{p(x)+1\}\,dt\\ &=& \{2p(x)-3-x\}p(x) \\ & &\quad+ \{x+2-(2p(x)-3)\}\{p(x)+1\}\\ &=& x+5 \end{eqnarray*}

であるから,

\begin{equation*} x+5<\int_x^{x+2}f^{-1}(t)\,dt<x+7 \end{equation*}

(1)の結果と足し合わせて,

\begin{equation*} 5x-3<\int_x^{x+2}\{f(t)+f^{-1}(t)\}\,dt<5x+3 \end{equation*}

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