京大2013年度第1問を相似だけで解く

この記事の所要時間: 339

問題.

平行四辺形 ABCD において, 辺 AB1:1 に内分する点を E, 辺 BC2:1 に内分する点を F、辺 CD3:1 に内分する点を G とする. 線分 CE と線分 FG の交点を P とし, 線分 AP を延長した直線と辺 BC の交点をQとするとき, 比 AP:PQ を求めよ.

以前別の記事で, この問題をベクトルを使って解く方法を紹介しました. (–> こちら)

今回は, 同じ問題を三角形の相似を使って解きたいと思います.

解答.

まず, 三角形の相似を使うために補助線を引いておきます.

CE を延長して直線 AD と交わる点を R ,

FG を延長して直線 AD と交わる点を S とおきます.

また, 説明が分かりやすくなるように, 辺 BC の長さを x とおいておきます.

はじめに, \triangle{PAR}\triangle{PQC} が相似なので, 求めるべき比 AP:PQ は,

\begin{equation*} AP:PQ = RP:PC \end{equation*}

となります. さらに, \triangle{PRS}\triangle{PCF} の相似に着目すると,

\begin{equation*} RP:CP = RS : CF \end{equation*}

となるので, RS:CF の比を求めればいいことが分かります.

ここからはとても簡単です.

BF:FC=2:1 から,

\begin{equation*} CF=\dfrac{x}{3} \end{equation*}

はすぐに求まります.

RS の長さは, RA + AD + DS として考えます.

RA は, \triangle{RAE}\triangle{CBE} が相似で, 相似比は AE:EB = 1:1 なので,

\begin{equation*} RA = CB = x \end{equation*}

次に, AD は, 平行四辺形の対辺の長さは等しいので, BC に等しく

\begin{equation*} AD = x \end{equation*}

最後に, DS\triangle{DSG}\triangle{CFG} が相似で, その相似比は DG:CG = 1:3 なので,

\begin{equation*} DS = \dfrac{1}{3}{CF} = \dfrac{x}{9} \end{equation*}

これらを足すと.

\begin{eqnarray*} RS &=& RA + AD + DS\\ &=& x + x + \dfrac{x}{9}\\ &=& \dfrac{19}{9}x \end{eqnarray*}

したがって, 比は

\begin{eqnarray*} RS : CF &=& \dfrac{19}{9}x : \dfrac{x}{3}\\ &=& 19:3 \end{eqnarray*}

なので, 答えは AP : PQ = 19 : 3 となります.

どの三角形の相似を使うのかをいちいち書く手間はありますが, 考え方や計算はベクトルで解くよりも簡単でした.

スポンサーリンク
sub2
sub2
  • このエントリーをはてなブックマークに追加