京大2010年度理系[甲]第5問(積分・面積)

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問題.

a を正の実数とする. 座標平面において曲線 y = \sin{x} (0\leqq x\leqq \pi)x 軸とで囲まれた図形の面積を S とし, 曲線 y = \sin{x} \left(0\leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\right) , 曲線 y = a\cos{x} \left(0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}\right) および x 軸で囲まれた図形の面積を T とする. このとき, S:T = 3:1 となるような a の値を求めよ.

とりあえず S の値は積分してすぐに求まります.

T については, y = \sin{x}y = a\cos{x} のグラフの交点が正確には分からない(a に依存する) ので, 一旦交点を x = \alpha とおいて計算します.

解答.

まず S を計算します.

\begin{eqnarray*} S &=& \int_0^\pi \sin{x}\,dx\\ &=& \Big[-\cos{x}\Big]_0^\pi\\ &=& 1-(-1)\\ &=& 2 \end{eqnarray*}

次に, T を考えます.

y = \sin{x}y = a\cos{x} のグラフは 0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2} で1回だけ交わる(グラフの形を考えると明らかです)ので, その点を x = \alpha とおきます.

すると,

\begin{equation*} \sin\alpha = a\cos\alpha \end{equation*}

が成り立ちます.

ここで, 三角関数の性質

\begin{equation*} \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 \end{equation*}

を使うと,

\begin{eqnarray*} (a\cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha &=& 1\\ (a^2+1) \cos^2\alpha &=& 1\\ \therefore \cos\alpha &=& \dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}\\ \sin\alpha &=& \dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}} \end{eqnarray*}

但し, 3行目では, \cos\alpha > 0 であることを使っています.

では, T を積分で求めていきましょう.

\begin{eqnarray*} T &=& \int_0^\alpha \sin{x}\,dx + \int_\alpha^\frac{\pi}{2} a\cos{x}\,dx\\ &=& \Big[-\cos{x}\Big]_0^\alpha + \Big[a\sin{x}\Big]_\alpha^\frac{\pi}{2}\\ &=& -\cos\alpha + 1 + a - a\sin\alpha\\ &=& -\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}} + 1 + a - \dfrac{a^2}{\sqrt{a^2+1}}\\ &=& 1 + a - \dfrac{1+a^2}{\sqrt{a^2+1}}\\ &=& 1+ a - \sqrt{a^2+1} \end{eqnarray*}

あとは, S:T = 3:1 を使って, S = 3T より

\begin{eqnarray*} 2 &=& 3(1+a-\sqrt{a^2+1})\\ 3\sqrt{a^2+1} &=& 3a+1\\ 9(a^2+1) &=& (3a+1)^2\\ 9a^2+9 &=& 9a^2+6a+1\\ 8 &=& 6a\\ \therefore a &=& \dfrac{4}{3} \end{eqnarray*}

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