京大2009年度[甲]第6問(積分・曲線の長さ)

この記事の所要時間: 612

問題.

極方程式

r = 1+\cos{\theta}  (0\leqq \theta\leqq\pi)

で表される曲線の長さを求めよ.

シンプルな問題文です

極方程式で表される曲線の長さを求める問題は珍しいので, 少し戸惑うかもしれませんが, xy- 直交座標での媒介変数表示された式に直せば, 後は公式通りです.

公式. 

y = f(t),\,x = g(t),\,(a\leqq t\leqq b) で表される曲線の長さ L は, 

\begin{eqnarray*} L &=& \int_a^b \sqrt{f^\prime(t)^2 + g^\prime(t)^2}\,dt\\ &=& \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\,dt \end{eqnarray*}

解答例.

まず, 極座標表示された曲線の式を, xy- 直交座標に直します.

\begin{eqnarray*} x &=& r\cos{\theta}\\ &=& (1+\cos{\theta})\cos{\theta} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y &=& r\sin{\theta}\\ &=& (1+\cos{\theta})\sin{\theta} \end{eqnarray*}

それぞれを \theta で微分すると,

\begin{eqnarray*} \dfrac{dx}{d\theta} &=& -\sin{\theta}\cos{\theta} \\ & & \quad+ (1+\cos{\theta})(-\sin{\theta})\\ &=& -\sin{\theta}-2\sin{\theta}\cos{\theta}\\ &=& -\sin{\theta}-\sin{2\theta} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \dfrac{dy}{d\theta} &=& -\sin{\theta}\cdot\sin{\theta}\\ & & \quad + (1+\cos{\theta})\cos{\theta}\\ &=& \cos{\theta}+\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\\ &=& \cos{\theta}+\cos{2\theta} \end{eqnarray*}

よって,

\begin{eqnarray*} \left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2 &=& (-\sin{\theta}-\sin{2\theta})^2 \\ & & \quad +(\cos{\theta}+\cos{2\theta})^2\\ &=& (\sin^2{\theta}+2\sin{\theta}\sin{2\theta}+\sin^2{2\theta})\\ & & \quad + (\cos^2{\theta} + 2\cos{\theta}\cos{2\theta}+\cos^2{2\theta})\\ &=& (\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}) + (\sin^2{2\theta}+\cos^2{2\theta})\\ & &\quad +2(\sin{\theta}\sin{2\theta}+\cos{\theta}\cos{2\theta})\\ &=& 1 + 1 + 2\cos(2\theta-\theta)\\ &=& 2(1+\cos{\theta})\\ &=& 4\cos^2{\frac{\theta}{2}} \end{eqnarray*}

となるので, 0\leqq\theta\leqq \pi のとき \cos{\frac{\theta}{2}}\geqq 0 であることを用いて, 曲線の長さは,

\begin{eqnarray*} \int_0^\pi \sqrt{4\cos^2{\frac{\theta}{2}}}\,d\theta &=& \int_0^\pi 2\cos{\frac{\theta}{2}}\,d\theta\\ &=& \Big[4\sin{\frac{\theta}{2}}\Big]_0^\pi\\ &=& 4 \end{eqnarray*}

追記. (極方程式の曲線の長さ)

一般に, 極方程式

\begin{equation*} r = f(\theta) \end{equation*}

の形で表される曲線について, 上の解答例同様に,

\begin{eqnarray*} x &=& f(\theta)\cos{\theta}\\ y &=& f(\theta)\sin{\theta} \end{eqnarray*}

とおいて, \left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2 を計算すると,

\begin{equation*} \left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2 = \{f^\prime(\theta)\}^2 + \{f(\theta)\}^2 \end{equation*}

ときれいな形になるので, 曲線の長さは, a\leqq\theta\leqq b のとき

\begin{equation*} L = \int_a^b \sqrt{\{f^\prime(\theta)\}^2 + \{f(\theta)\}^2}\,d\theta \end{equation*}

となります.

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