京大2017年度理系第3問

この記事の所要時間: 514

問題.

p, q を自然数, \alpha, \beta

\begin{equation*} \tan{\alpha} = \dfrac{1}{p},\quad \tan{\beta} = \dfrac{1}{q} \end{equation*}

を満たす実数とする. このとき

\begin{equation*} \tan{(\alpha+2\beta)} = 2 \end{equation*}

を満たす実数 p, q の組 (p, q) をすべて求めよ.

文系の問題では, 同じ問題が誘導付きで出ていました.

まずは \tan の加法定理を使って, 条件を p, q の式に変形します.

その後の解き方はいろいろあると思います.

私は p の値で場合分けしましたが, 文系の問題の誘導では q の値で場合分けしていました.

一応, 自分のやり方と, 文系の誘導による解き方を載せておきます.

解答例.

\tan\alpha=\dfrac{1}{p}, \tan\beta=\dfrac{1}{q} なので,

\begin{eqnarray*} \tan2\beta &=& \dfrac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}\\ &=& \dfrac{\frac{2}{q}}{1-\frac{1}{q^2}}\\ &=& \dfrac{2q}{q^2-1} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \tan(\alpha+2\beta) &=& \dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan2\beta}\\ &=& \dfrac{\frac{1}{p}+\frac{2q}{q^2-1}}{1-\frac{1}{p}\cdot\frac{2q}{q^2-1}}\\ &=& \dfrac{q^2+2pq-1}{pq^2-p-2q} \end{eqnarray*}

よって, 条件は

\begin{eqnarray*} & & \tan(\alpha+2\beta) = 2\\ &\Leftrightarrow& q^2+2pq-1 = 2(pq^2-p-2q)\\ &\Leftrightarrow& 2(q^2-q-1)p = q^2+4q-1 \end{eqnarray*}

(i)  p = 1 のとき, 条件は q^2-6q-1 = 0 となり, 整数 q でこれをみたすものはない.

(ii) p = 2 のとき, 条件は 3q^2-8q-3 = (3q+1)(q-3) = 0 となり, 自然数の解 q=3 が存在する. よって, (p, q) = (2, 3) は条件を満たす.

(iii) p\geqq 3 のとき, 条件式から

\begin{eqnarray*} q^2+4q-1 &=& 2(q^2-q-1)p\\ &\geqq& 6(q^2-q-1) \end{eqnarray*}

変形して q について解くと,

\begin{eqnarray*} 5q^2-10q-5\leqq 0\\ 1-\sqrt{2}\leqq q\leqq1+\sqrt{2} \end{eqnarray*}

この不等式を満たす qq = 1, 2 のみですが, q = 1, 2 に対しては条件を満たす自然数 p が存在しません.

以上より, 条件を満たす組は (p, q)=(2, 3) のみになります.

次に, p で場合分けしていく方法で解きます.

条件を変形して

\begin{equation*} 2(q^2-q-1)p = q^2+4q-1 \end{equation*}

となるところまでは同じです.

(i) q = 1 のときは, 条件は -2p=4 より p = -2 (自然数でない)ので解なしです.

(ii) q=2 のときは, 条件は 2p=11 より p = frac{11}{2} (自然数でない)ので解なしです.

(iii) q=3 のときは, 条件は 10p=20 より p = 2 となり, (p, q)=(2, 3) は解になります.

(iv) q>3 のとき

\begin{eqnarray*} 2\times 2(q^2-q-1) - (q^2+4q-1) &=& 3q^2-8q-3\\ &=& (3q+1)(q-3)\\ &>& 0 \end{eqnarray*}

より,

\begin{eqnarray*} p &=& \dfrac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)}\\ &<& 2 \end{eqnarray*}

ところが, p = 1 のときは条件は q^2-6q-1=0 より自然数解 p は存在しない.

以上より, (p, q) = (2, 3) のみになります.

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