べき乗和の公式 (Faulhaber の公式)

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べき乗和の公式

公式.

\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k &=& 1+2+\cdots+n = \dfrac{1}{2}n(n+1)\\ \sum_{k=1}^n k^2 &=& 1^2+2^2+\cdots+n^2 = \dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\ \sum_{k=1}^n k^3 &=& 1^3+2^3+\cdots+3^3 = \left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^2\\ \sum_{k=1}^n k^4 &=& \dfrac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \end{eqnarray*}

これらの公式のうち, 3 つ目までは覚えておくべきものになります.

3 つ目の 3 乗和の公式は, ちょうど 1 乗の公式の 2 乗になっていると覚えるといいですね.

上には 4 乗の公式まで載せましたが, 5 乗, 6 乗, …とすべて公式として存在します.

さらに, 1^m+2^m+\csots+n^mnm+1 次の多項式で表される (上の公式はすべてそうなっています) ことが分かっています.

1 つ目の公式は, 等差数列の和の公式を使って, 初項 1 , 公差 1 とすれば求まります.

以下に, 2 乗和の公式の導出をのせておきます. 3 乗以上の公式も, (少し大変ですが) 同様にして求めることができます.

2 乗和の公式の導出

ここでは, 1 つ目の公式

\begin{equation*} \sum_{k=1}^n k = \dfrac{1}{2}n(n+1) \end{equation*}

は分かっているものとします.

まず, 次の恒等式を考えます.

\begin{equation*} (k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 \end{equation*}

ここで, この恒等式の k = 1, 2, \ldots, n のときの両辺をそれぞれ足し合わせると,

\begin{equation*} \sum_{k=1}^n (k+1)^3 &=& \sum_{k=1}^n (k^3+3k^2 + 3k+1) \end{equation*}

分かりやすいように,

\begin{eqnarray*} S_1 &=& \sum_{k=1}^n k\\ S_2 &=& \sum_{k=1}^n k^2\\ S_3 &=& \sum_{k=1}^n k^3 \end{eqnarray*}

とおくと,

\begin{equation*} S_3 -1+(n+1)^3 = S_3 + 3S_2 + 3S_1 + n \end{equation*}

両辺にある S_3 は消えて,

\begin{eqnarray*} S_2 &=& \dfrac{1}{3}\{-1+(n+1)^3-3S_1-n\}\\ &=& \dfrac{1}{3}\Big\{-(n+1)+(n+1)^3\\ & & \quad\quad -3\cdot\dfrac{1}{2}n(n+1)\Big\}\\ &=& \dfrac{1}{6}(n+1)\{-2+2(n+1)^2-3n\}\\ &=& \dfrac{1}{6}(n+1)(2n^2+n)\\ &=& \dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \end{eqnarray*}

3 乗和の公式の導出をするには,

(k+1)^4 = k^4 + 4k^3+6k^2+4k+1

を利用します.

最後に.

  1.  m 乗和の公式の n^{m+1} の係数は \dfrac{1}{m+1} になります. 自作問題の3番でこのことの証明をしています.
  2. 一般の m 乗和については, ベルヌーイ数 B_j を用いて,

\begin{equation*} \sum_{k=1}^n k^m = \dfrac{1}{m+1}\sum_{j = 0}^m B_j\,n^{m+1-j} \end{equation*}

となります.

ここで, ベルヌーイ数とは,

\begin{eqnarray*} B_0 &=&1\\ \sum_{i=0}^k (-1)^i \,\,{}_{k+1}C_{i} \,B_i&=&0 \,\,(k=1, 2, \ldots) \end{eqnarray*}

で帰納的に定義される数です.

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