ヘルダーの不等式(Cauchy-Schwarzの不等式の一般化)

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ヘルダーの不等式

ドイツの数学者, オットー・ルードウィヒ・ヘルダー(Otto Ludwig Hölder)が発見した不等式です.

n\in\mathbb{N}, a_i, b_i\quad(i=1, 2, \ldots, n) は非負の実数で, p, q

\begin{equation*} \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1 \end{equation*}

を満たす正の実数とすると,

不等式

\begin{equation*} \left(\sum_{i=1}^n a_i^p\right)^\frac{1}{p}\left(\sum_{i=1}^n b_i^q\right)^\frac{1}{q} \geqq \sum_{i=1}^n a_ib_i \end{equation*}

が成り立つ.

特に, p=q=2 の場合を考えると, Cauchy-Schwarzの不等式になっています.

コーシー・シュワルツの不等式

\begin{equation*} \left(\sum_{i=1}^na_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^nb_i^2\right) \geqq \left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2 \end{equation*}

では, 以下ではこの不等式の証明をしていきたいと思います.

証明.

まず, 関数の凸性に関する以下の補題を用意しておきます.

補題1.

関数 f(x)x_0<x<x_1 の範囲において2階微分可能で, かつ常に f^{\prime\prime}(x)<0 ならば, x_0<m<n<x_1 を満たす任意の実数 m, n に対して,

\begin{equation*} f\left(\frac{ma+nb}{m+n}\right)>\frac{nf(a)+mf(b)}{m+n} \end{equation*}

が成り立つ. (つまり, f(x) は上に凸である).

a=b のとき等号が成立.

2階微分が負であれば, 関数は上に凸であるという(逆も成り立ちます)補題です.

証明.

a<x<x_1 で定義された関数

\begin{equation*} g(x) = \frac{nf(a)+mf(x)}{m+n}-f\left(\frac{na+mx}{m+n}\right) \end{equation*}

を考えます.

x で微分すると,

\begin{equation*} g^\prime(x) = \frac{m}{m+n}\left\{f^\prime(x)-f^\prime\left(\frac{na+mx}{m+n}\right)\right\} \end{equation*}

ここで, a<x より, a<\frac{na+mx}{m+n}<x なので, f^\prime(x) について平均値の定理により,

\begin{eqnarray*} f^\prime(x)-f\prime\left(\frac{na+mx}{m+n}\right)&=&\left(x-\frac{na+mx}{m+n}\right)f^{\prime\prime}(c)\\ \frac{na+mx}{m+n}<&c&<x \end{eqnarray*}

を満たす実数 c が存在します.

上式の右辺について,

\begin{eqnarray*} \left(x-\frac{na+mx}{m+n}\right)f^{\prime\prime}(c) &=& \frac{n}{m+n}(x-a)f^{\prime\prime}(c)\\ &<& 0 \end{eqnarray*}

であるから,

\begin{equation*} f^\prime(x) - f\left(\frac{na+mx}{m+n}\right) < 0 \end{equation*}

でもあり, g^\prime(x)<0 となるので, g(x)a<x<x_1 において単調に減少する.

さらに,

\begin{equation*} \lim_{x\to a+0} g(x) = f(a)-f(a)=0 \end{equation*}

なので, a<x<x_1 において, g(x)<0.

a<b<x_1 なので, g(b)<0 より,

\begin{equation*} f\left(\frac{ma+nb}{m+n}\right)>\frac{nf(a)+mf(b)}{m+n} \end{equation*}

ヘルダーの不等式の証明.

まず,

\begin{eqnarray*} A &=& \sum_{i=1}^n a_i^p\\ B &=& \sum_{i=1}^n b_i^q \end{eqnarray*}

とおきます.

A=0 のときは, a_1=a_2=\cdots=a_n=0 となり, ヘルダーの不等式は等号が成り立ちます. B=0 のときも同様です.

そこで, 以下では A\neq 0, B\neq 0 であるものとします.

関数 f(x)=\log{x} を考えると, f^\prime(x)=\frac{1}{x}, f^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{x^2}<0 なので, 補題1. に当てはめると,

正の実数 s, t に対して

\begin{equation*} \frac{\frac{1}{p}\log{s}+\frac{1}{q}\log{t}}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}} \leqq \log\left(\frac{\frac{s}{p}+\frac{t}{q}}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}}\right) \end{equation*}

仮定より, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 なので,

\begin{eqnarray*} \frac{1}{p}\log{s}+\frac{1}{q}\log{t} &\leqq& \log(\frac{s}{p}+\frac{t}{q})\\ \log{s^\frac{1}{p}t^\frac{1}{q}} &\leqq& \log(\frac{s}{p}+\frac{t}{q})\\ \therefore s^\frac{1}{p}t^\frac{1}{q} &\leqq& \frac{s}{p}+\frac{t}{q}\\ \end{eqnarray*}

ここで, s, t として, s=\frac{a_i^p}{A}, t = \frac{b_i^q}{B} とすると,

\begin{equation*} \left(\frac{a_i^p}{A}\right)^\frac{1}{p}\left(\frac{b_i^q}{B}\right)^\frac{1}{q} \leqq \frac{a_i^p}{pA} + \frac{b_i^q}{qB} \end{equation*}

i=1, 2, \ldots, n について和をとれば,

\begin{equation*} \sum_{i=1}^n \left(\frac{a_i^p}{A}\right)^\frac{1}{p}\left(\frac{b_i^q}{B}\right)^\frac{1}{q} \leqq \sum_{i=1}^n \left( \frac{a_i^p}{pA} + \frac{b_i^q}{qB}\right) \end{equation*}

式を整理すると,

\begin{eqnarray*} \frac{1}{A^\frac{1}{p}B^\frac{1}{q}}\sum_{i=1}^n a_ib_i &\leqq& \frac{1}{pA}\sum_{i=1}^n a_i^p+\frac{1}{qB}\sum_{i=1}^n b_i^q\\ &=& \frac{1}{p}+\frac{1}{q}\\ &=& 1 \end{eqnarray*}

したがって,

\begin{equation*} \sum_{i=1}^n a_ib_i \leqq A^\frac{1}{p}B^\frac{1}{q} \end{equation*}

となり, 不等式は証明できました.

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