2×2 正方行列の n 乗-Vol.2

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2行2列 正方行列の n 乗

前の記事 『2×2 正方行列の n 乗-Vol.1』の続きとして,

2行2列の行列

\[A=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right)\]

n 乗の導出法(2つ目)を紹介します.

まずは結果から

前回書いた通りですが, もう一度書いておきます.

\displaystyle A = \left(\begin{array}{cc}a & b\\ c & d\end{array}\right) について,

2 次方程式

\[x^2-(\mathrm{tr} A)x+(\mathrm{det} A)=0\]

について

[1] 重解 \alpha をもつとき

\begin{equation*} A^n = \left(\begin{array}{cc}(na-n\alpha+\alpha)\alpha^{n-1} & nb\alpha^{n-1}\\ nc\alpha^{n-1} & (nd-n\alpha+\alpha)\alpha^{n-1}\end{array}\right) \end{equation*}

(\alpha=0 かつ n=1 については成り立つとは限らない)

[2] 異なる 2 解 \alpha, \beta をもつとき

\begin{equation*} A^n = \frac{1}{\alpha-\beta}\left(\begin{array}{cc}(a-\beta)\alpha^{n-1}-(a-\alpha)\beta^{n-1} & b\alpha^n-b\beta^n\\ c\alpha^n-c\beta^n & (d-\beta)\alpha^{n-1}-(d-\alpha)\beta^{n-1}\end{array}\right) \end{equation*}

証明 2.

ここでもケーリー・ハミルトンの定理を使います.

\begin{equation*} A^2 - (\mathrm{tr}A)A + (\mathrm{det}A)E = O \end{equation*}

ここで, E は単位行列, O は零行列です.

いきなり場合分けしていきます.

2 次方程式

\[x^2-(\mathrm{tr}A)x+(\mathrm{det})=0\]

の解について,

[1] 重解 \alpha\,(\neq 0) をもつとき

解と係数の関係から,

\begin{equation*} \left\{\begin{array} 2\alpha = \mathrm{tr}A\\ \alpha^2 = \mathrm{det}A \end{array}\right. \end{equation*}

なので, ケーリー・ハミルトンの定理は次のように書けます.

\begin{equation*} A^2-2\alpha A+\alpha^2E=0 \end{equation*}

移項すると

\begin{eqnarray*} A^2-\alpha A &=& \alpha A-\alpha^2E\\ \therefore A(A-\alpha E) &=& \alpha(A-\alpha E) \end{eqnarray*}

これを利用すると,

\begin{eqnarray*} A^n(A-\alpha E) &=& A^{n-1}\cdot A(A-\alpha E)\\ &=& A^{n-1}\cdot \alpha(A-\alpha E)\\ &=& \alpha A^{n-1}(A-\alpha E)\\ &=& \alpha^2 A^{n-2}(A-\alpha E)\\ &=& \vdots\\ &=& \alpha^n(A-\alpha E) \end{eqnarray*}

\begin{equation*} A^{n+1}-\alpha A^n = \alpha^n A-\alpha^{n+1}A \end{equation*}

両辺を \alpha^{n+1} で割って, 添え字を n から k に書き換えて,

\begin{equation*} \frac{A^{k+1}}{\alpha^{k+1}}-\frac{A^k}{\alpha^k} &=& \frac{A}{\alpha}-E \end{equation*}

k=1, 2, \ldots, n-1 について両辺それぞれ和をとると,

\begin{equation*} \frac{A^n}{\alpha^n}-\frac{A}{\alpha}=(n-1)\left(\frac{A}{\alpha}-E\right) \end{equation*}

両辺に \alpha^n を掛けて, 移項すると

\begin{equation*} A^n = n\alpha^{n-1}A-(n-1)\alpha^nE \end{equation*}

[2] 異なる 2 つの解 \alpha, \beta をもつとき

解と係数の関係から,

\begin{equation*} \left\{\begin{array} {c}\alpha+\beta = \mathrm{tr}A\\ \alpha\beta = \mathrm{det}A\end{array}\right. \end{equation*}

ケーリー・ハミルトンの定理は,

\begin{equation*} A^2-(\alpha+\beta)A+\alpha\beta E=O \end{equation*}

と書け, 一部を移項して,

\begin{eqnarray*} A^2-\alpha A &=& \beta A-\alpha\beta E\\ A(A-\alpha E) &=& \beta(A-\alpha E) \end{eqnarray*}

ここで,

\begin{eqnarray*} A^n(A-\alpha E) &=& A^{n-1}\cdot A(A-\alpha E)\\ &=& A^{n-1}\cdot \beta(A-\alpha E)\\ &=& \beta A^{n-1}(A-\alpha E)\\ &=& \beta^2A^{n-2}(A-\alpha E)\\ &=& \vdots\\ &=& \beta^n(A-\alpha E) \end{eqnarray*}

\begin{equation*} \therefore A^{n+1}-\alpha A^n = \beta^n A-\alpha\beta^nE \end{equation*}

同様に, \alpha\beta を入れ替えた式も成り立ち,

\begin{equation*} \therefore A^{n+1} - \beta A^n = \alpha^n A - \alpha^n\beta E \end{equation*}

上の式と辺々引くことで,

\begin{eqnarray*} -(\alpha-\beta)A^n &=& (\beta^n-\alpha^n)A - (\alpha\beta^n-\alpha^n\beta)E\\ \therefore A^n &=& \frac{1}{\alpha-\beta}\{(\alpha^n-\beta^n)A-(\alpha^n\beta-\alpha\beta^n)E\} \end{eqnarray*}

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