ラグランジュの四平方定理

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ラグランジュ(Lagrange) の四平方定理

以前,三平方の定理の拡張である四平方の定理を紹介しました.(–>四平方定理)

ラグランジュの四平方定理は,定理の名前は同じですが,全く違う内容の定理です.

定理. 

全ての自然数は,高々 4 個の平方数の和で表される.

つまり, 任意の自然数 \(n\) に対して,

\[n = x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\]

を満たす整数 \((x_1, x_2, x_3, x_4)\) の組が存在する.

“高々” 4 個の平方数の和なので,2 個, 3 個の平方数の和でもいいですし,それ自身が平方数でも構わないです.4 個よりも少ない平方数の和で表せる場合は,\(0^2=0\) を加えれば,4 つの平方の和の形にできます.

例を見てみましょう.

\begin{align*}
1 &= 1^2+0^2+0^2+0^2\\
2 &= 1^2+1^2+0^2+0^2\\
3 &= 1^2+1^2+1^2+1^2\\
4 &= 1^2+1^2+1^2+1^2\\
&= 2^2+0^2+0^2+0^2\\
5 &= 2^2+1^2+0^2+0^2\\
7 &= 2^2+1^2+1^2+1^2\\
15 &= 3^2+2^2+1^1+1^1
\end{align*}

7 や 15 は,3 個以下の平方の和では表せません.

また,4 のように,表し方が複数あるものもあります.

自然数 \(n\) を高々 4 個の平方数の和として表す方法は,ヤコビの四平方定理

\[r(n) = 8\sum_{4\not\mid \,\,d\mid n}d\]

で与えられます.

この式の和の部分は,\(n\) の約数のうち,4 の倍数でないものの和をとっています.

例えば,\(n=4\) のとき,\(r(4)=8(1+2)=24\) となります.

実は,この定理では 4 つの数の順番や,正負を変えたものも異なる表し方として数えています.

なので,\(4=2^2+0^2+0^2+0^2\) に対して,

\begin{align*}
4 &= 2^2+0^2+0^2+0^2 &= (-2)^2+0^2+0^2+0^2\\
&= 0^2+2^2+0^2+0^2 &= 0^2+(-2)^2+0^2+0^2\\
&= 0^2+0^2+2^2+0^2 &= 0^2+0^2+(-2)^2+0^2\\
&= 0^2+0^2+0^2+2^2 &= 0^2+0^2+0^2+(-2)^2
\end{align*}

の 8 通りがあります.

\(4=1^2+1^2+1^2+1^2\) に対しても 4 つのそれぞれに 1 or -1 の 2 通りあるので, \(2^4 = 16\) 通りの表し方が対応します.

ラグランジュの四平方定理の証明.

まず,4 つの平方数の和で表された数同士の積もまた 4 つの平方数の和で表される,という補題を用意しておきます.

補題1. 

\begin{align*}
(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2) &= (x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4)^2\\
&\quad + (x_1y_2-x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3)^2 \\
&\quad +(x_1y_3-x_3y_1+x_4y_2-x_2y_4)^2\\
&\quad + (x_1y_4-x_4y_1+x_2y_3-x_3y_2)^2
\end{align*}

これは展開すれば確かめられます.

では,ここから証明に入っていきます.

\(n=1, 2\) のときは,上にも示した通り,

\begin{align*}
1 &= 1^2+0^2+0^2+0^2\\
2 &= 1^2+1^2+0^2+0^2
\end{align*}

なので,定理は成り立ちます.

あとは,\(n\) が奇素数(奇数かつ素数)の場合を示すことができれば,全ての自然数についても成り立つことが (補題1. ) からいえます.

そこで,以下では \(n\) が奇素数の場合を証明します.

素数であることが分かりやすいように,\(n=p\) とおきます.

\(p\) は奇数で 3 以上なので, \(\dfrac{1}{2}(p-1)\) は自然数です.そこで,

\begin{align*}
S &= \{x^2\mid x\in\mathbb{Z}, 0\leqq x\leqq\frac{1}{2}(p-1)\}\\
T &= \{-1-y^2\mid y\in\mathbb{Z}, 0\leqq y\leqq\frac{1}{2}(p-1)\}
\end{align*}

という集合 \(S, T\) を考えます.ここで,\(\mathbb{Z}\) は整数全体の集合を表しています.

このとき, \(x^2\geqq 0, -1-y^2<0\) より, \(S\cap T=\emptyset\) なので,

\begin{align*}
\#(S\cap T) = 0
\end{align*}

(\(S\cap T\) の要素数がゼロ).

ここで,

\(S\) の任意の 2 つの要素 \(k^2, l^2\) , (\(k\neq l\)) について

\[k^2\not\equiv l^2\pmod{p}.\]

\(T\) の任意の 2 つの要素 \(-1-k^2, -1-l^2\) , (\(k\neq l\)) について

\[-1-k^2\not\equiv -1-l^2\pmod{p}.\]

が成り立ちます. これは背理法で簡単に示せるので,今回は省略します.

さて,

\begin{align*}
\#(S\cup T) &= \#S+\#T\\
&= \frac{1}{2}(p+1)+\frac{1}{2}(p+1)\\
&= p+1
\end{align*}

なので,鳩ノ巣原理より,\(p\) を法として合同であるような,\(S\) の要素と \(T\) の要素の組が少なくとも 1 つ存在します.

それらの要素を,\(X^2\in S, -1-Y^2\in T\) とすると,

\begin{align*}
X^2&\equiv -1-Y^2\pmod{p}\\
\therefore X^2+Y^2+1^2+0^2&\equiv 0
\end{align*}

よって,\[X^2+Y^2+1^2+0^2=mp\] となる整数 \(m\) が存在します.

この \(m\) が \(m=1\) であれば,この時点で証明できたことになります.

そこで,\(m>1\) の場合を考えます.

\(X_1=X, X_2=Y, X_3=1, X_4=0\) とおいて,

\begin{align*}
-\frac{1}{2}k<Y_i\leqq\frac{1}{2}k,\quad X_i\equiv Y_i\pmod{k}\quad(i=1, 2, 3, 4)
\end{align*}

として \(Y_1, Y_2, Y_3, Y_4\) を定めると,

\begin{align*}
Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2+Y_4^2&\equiv X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2\\
&\equiv kp\\
&\equiv 0\pmod{k}
\end{align*}

よって,\(Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2+Y_4^2=k^\prime k\) となる自然数 \(k^\prime\) が存在します.

\(-\frac{1}{2}k<Y_i\leqq\frac{1}{2}k\) より,\(Y_i^2\leqq \frac{1}{4}k^2\) なので,

\(Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2+Y_4^2\leqq 4\cdot\frac{1}{4}k^2=k^2\)

より,\(k^\prime\leqq k\) となっています.

ここで, \(k=k^\prime\) とすると矛盾が生じることを示していきます.

・\(k \neq k^\prime\) を示す.

各 \(X_i\) について \(X_i^2\leqq \{\frac{1}{2}(p-1)\}^2\) なので,

\begin{align*}
X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2 &\leqq (p-1)^2\\
\therefore kp&< p^2
\end{align*}

両辺 \(p\) で割ると,\(k<p\).

よって,(\(p\) は素数なので) \(k\) と \(p\) は互いに素となり,\(kp\) は \(k^2\) では割り切れない.

一方,\(k^\prime=k\) となるのは,

\[Y_1=Y_2=Y_3=Y_4=\frac{1}{2}k\]

のときで,このとき \(X_i\equiv Y_i\pmod{k}\) であることも考慮すると,

\(kp=X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2\) は \(k^2\) の倍数となります.

これは上の事実に矛盾します.

以上より,\(k^\prime\neq k\) がいえたので,\[0<k^\prime<k. \]

ここで,2 式

\begin{align*}
kp &= X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2\\
k^\prime k &= Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2+Y_4^2
\end{align*}

の積を考えると,(補題1.) により,

\begin{align*}
k^2k^\prime p = A_1^2+A_2^2+A_3^2+A_4^2
\end{align*}

となる整数 \(A_1, A_2, A_3, A_4\) が存在します.

\(X_i\equiv Y_i\pmod{k}\quad(i=1, 2, 3, 4)\) を使うと,

\[A_i\equiv 0\pmod{k}(i=1, 2, 3, 4)\]

となります.

よって,\(A_i=kB_i\) となる整数 \(B_1, B_2, B_3, B_4\) があって,上の式に代入して両辺を \(k^2\) で割ると

\[k^\prime p = B_1^2+B_2^2+B_3^2+B_4^2\]

となります.

この時点で \(k^\prime =1\) であれば \(p\) が 4 つの平方数の和で表されたことになりますし,\(k^\prime>1\) であれば,\(k^\prime, B_1, B_2, B_3, B_4\) を新しく \(k, X_1, X_2, X_3, X_4\) と見做して同じ変形をくり返せば,いずれ \(k^\prime=1\) となります.

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