シムソンの定理の簡単な証明

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シムソンの定理(ウォーレスの定理)の簡単な証明

以前の記事でシムソンの定理の極座標による証明を書きましたが, 実は簡単な幾何による証明が可能なので, 紹介します.

シムソンの定理とは

シムソンの定理の内容を改めて説明します.

定理.

三角形 ABC の外接円の円周上に, 3 点 A, B, C とは異なる点 O をとる.

O から 3 直線 AB, BC, CA に下ろした垂線の足をそれぞれ P, Q, R とすると, 3 点 P, Q, R は同一直線上にある.

このとき直線 PQRシムソン線といいます.

前回の記事では直線 PQ と直線 QR の方程式を求めて一致することを示しました.

今回は \angle{PQR} = 180^\circ となることを示していきます.

簡単な幾何による証明

\angle{BQP}=\theta とおきます.

\angle{OQB}=\angle{OPB}=90^\circ なので,

4 点 O, Q, B, P は線分 OB を直径とする円周上にある.

よって \angle{BOP}=\angle{BQP}=\theta なので, \triangle{OBP} の内角について,

\begin{align*} \angle{OBP} &= 180^\circ-90^\circ-\theta\\ &= 90^\circ-\theta. \end{align*}

一方, 4 点 O, B, A, C は同一円周上にあるから,

\begin{align*} \angle{OCA} &= \angle{OBP}\\ &= 90^\circ-\theta. \end{align*}

また, \angle{OQC}=\angle{ORC}=90^\circ より, 4 点 O, Q, R, C も同一円周上にあって,

\begin{align*} \angle{OQR} &= 180^\circ - \angle{OCR}\\ &= 180^\circ - (90^\circ - \theta)\\ &= 90^\circ+\theta. \end{align*}

よって, \angle{PQR} は,

\begin{align*} \angle{PQR} &= \angle{PQO} + \angle{OQR}\\ &= (90^\circ - \theta) + (90^\circ+\theta)\\ &= 180^\circ. \end{align*}

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