複素数の重要な性質

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複素数の重要な性質

前回の記事–>「複素数とは何か?

今回は, 複素数平面, 複素数の絶対値, 共役な複素数などについて説明していきます.

複素数平面 (ガウス平面)

座標平面上の点 (a, b) が複素数 z=a+bi を表すと考えるとき, この座標平面を複素数平面 (複素平面), ガウス平面といいます.

横軸を実軸, 縦軸を虚軸といい, 実軸上の点は実数を, 虚軸上の点は純虚数を表します.

共役な複素数

複素数 z=a+bi に対して, 虚部の符号をかえてできる複素数を z の共役な複素数といい, \overline{z} で表します.

\begin{align*} z &= a + bi\\ \overline{z} &= a-bi \end{align*}

共役な複素数の性質

  1. \[\overline{\overline{z}} = z\]

  2. \[\overline{z_1\pm z_2} = \overline{z_1}\pm\overline{z_2}\]

  3. \[\overline{z_1z_2} = \overline{z_1}\overline{z_2}\]

  4. \[\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\]

  5. \begin{align*}\Re z &= \frac{z+\overline{z}}{2}\\ \Im z &= \frac{z-\overline{z}}{2i}\end{align*}

複素数の絶対値

絶対値は, 複素数平面上での原点 0 からの距離を表します.

(実数における絶対値も, 実直線での原点からの距離でしたね).

特に, z=a+bi のとき, 複素数平面上で三平方の定理を使うと,

\[|z| = \sqrt{a^2+b^2}\]

となります.

絶対値に関連する重要な公式

1. |z| = |\overline{z}|

2. |z_1z_2| = |z_1||z_2|

3. \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}

4. |z|^2 = z\overline{z}

特に,

|z|=1 \Leftrightarrow \overline{z}=\frac{1}{z}

次回の記事では複素数の極形式の表現などを説明します

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