複素数の極形式表示

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複素数の極形式表示

この記事では, 複素数の表し方の極形式を紹介します.

これまでは複素数 z

\begin{align*} z = a + bi \end{align*}

(a, b は実数)

と表していました.

極形式では, 三角関数 \sin\theta, \cos\theta を使って, 複素数を表現します.

極形式

複素数 z

\begin{align*} z = r(\cos\theta+i\sin\theta) \end{align*}

(0\leqq\theta<2\pi, r\geqq0)

と表すとき, 極形式といいます.

このとき, \thetaz偏角といい, \theta = \arg{z} と表します. 

rz絶対値で, r = |z| と表します.

z=a+bi を極形式に直すと,

\begin{align*} z &= a+bi\\ &= \sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}i\right) \end{align*}

ここで,

\begin{align*} \left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=1 \end{align*}

なので,

\begin{align*} \cos\theta &= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin\theta &= \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{align*}

となる \theta が存在します.

極形式の利点

複素数を極形式で表すと次のような利点があります.

\begin{align*} z_1 &= r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\\ z_2 &= r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) \end{align*}

(r_1, r_2\geqq 0)

のとき,

|z_1| = r_1

z_1z_2 = r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}

\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}\{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\}

・(ド・モアブル)

z_1^n = r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)

このように, 積や商の計算が簡単になります.

これらは三角関数の加法定理を使って簡単に示すことができます.

また, Euler (オイラー) の公式として知られる式

\begin{align*} \cos\theta+i\sin\theta = e^{i\theta} \end{align*}

を使えば,

z_1=r_1e^{i\theta_1}, z_2 = r_2e^{i\theta_2} と書けて,

\begin{align*} z_1z_2 &= r_1e^{i\theta_1}r_2e^{i\theta_2}\\ &= r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\\ &= r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\} \end{align*}

のように計算することもできます.

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