京大理学部特色 H29年度第2問

この記事の所要時間: 445

問題. 

n を自然数とする. 実数 a_n

\begin{align*} a_n = \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \dfrac{x^{2n-1}}{\sqrt{x^2+1}}\, dx \end{align*}

で定める.

以下の設問に答えよ.

(1) a_1a_2 を求めよ.

(2) すべての自然数 n に対し, a_n は正の有理数であることを示せ. さらに, a_n を互いに素な自然数 b_nc_n を用いて a_n = \dfrac{c_n}{b_n} と表すとき, b_n は奇数であることを示せ.

今回は京大の理学部特色入試の問題を解いてみました.

パッと見では (2) が難しそうに見えますが, 与えられた積分の計算ができてしまえばさほど難しくないです.

解答例.

(1)

\begin{align*} a_1 = \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx \end{align*}

ここで, t = \sqrt{x^2+1} と置換すると, x = \sqrt{t^2-1} であり,

\begin{align*} dx &= \dfrac{t}{\sqrt{t^2-1}}\,dt \end{align*}

となるので,

\begin{align*} a_1 &= \int_2^3 \dfrac{\sqrt{t^2-1}}{t}\cdot\dfrac{t}{\sqrt{t^2-1}}\,dt\\ &= \int_2^3 \,dt\\ &= \Big[t\Big]_2^3\\ &= 1 \end{align*}

a_2 についても同様の置換をすると,

\begin{align*} a_2 &= \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}\,dx\\ &= \int_2^3 \dfrac{\left(\sqrt{t^2-1}\right)^{3}}{t}\cdot\dfrac{t}{\sqrt{t^2-1}}\,dt\\ &= \int_2^3 (t^2-1)\,dt\\ &= \Big[\frac{1}{3}t^3-t\Big]_2^3\\ &= \frac{16}{3} \end{align*}

(2) ここでは a_n に対して, (1) と同じ置換を行います.

\begin{align*} a_n &= \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \dfrac{x^{2n-1}}{\sqrt{x^2+1}}\,dx\\ &= \int_2^3 \dfrac{\left(\sqrt{t^2-1}\right)^{2n-1}}{t}\cdot\dfrac{t}{\sqrt{t^2-1}}\,dt\\ &= \int_2^3 (t^2-1)^{n-1}\,dt \end{align*}

被積分関数の部分を, 2項定理を用いて展開して計算していきます.

\begin{align*} a_n &=  \int_2^3 \sum_{k = 0}^{n-1} \left({}_{n-1}C_k \cdot (t^2)^k\cdot (-1)^{n-1-k}\right)\,dt\\ &= \sum_{k = 0}^{n-1} \left({}_{n-1}C_k \cdot (-1)^{n-1-k}\int_{2}^{3} t^{2k}\,dt\right)\\ &= \sum_{k = 0}^{n-1} \left({}_{n-1}C_k \cdot (-1)^{n-1-k} \Big[\frac{1}{2k+1}t^{2k+1}\Big]_2^3\right)\\ &= \sum_{k = 0}^{n-1} \left({}_{n-1}C_k \cdot (-1)^{n-1-k}\cdot\dfrac{3^{2k+1}-2^{2k+1}}{2k+1}\right) \end{align*}

この式において, 各項は有理数で, a_n は有理数を n 個足し合わせたものであるので, a_n も有理数となります.

さらに, コンビネーションの {}_{n-1}C_k の部分はすべての整数 k = 1, 2, \ldots, n-1 に対して整数なので, 各項は分母が 2k+1 , すなわち分母が奇数(約数に 2 を含まない)であるような分数となっています.

a_n は分母が奇数である分数の和や差で得られる. 通分することを考えても, その結果の分母は奇数のままであり, さらに計算結果が約分可能であっても, 分母は奇数のままです. したがって, b_n は奇数となります.

スポンサーリンク
sub2
sub2
  • このエントリーをはてなブックマークに追加