神大2017年度理科系 第3問

この記事の所要時間: 355

問題. 

n を自然数とする. A_n=2^n+n^2, B_n=3^n+n^3 とおく. A_n を 3 で割った余りを a_n とし, B_n を 4 で割った余りを b_n とする. 以下の問に答えよ.

(1) A_{n+6}-A_n は 3 で割り切れることを示せ.

(2) 1\leqq n\leqq 2018 かつ a_n=1 を満たす n の個数を求めよ.

(3) 1\leqq n\leqq 2018 かつ b_n=2 を満たす n の個数を求めよ.

自然数の割った余りに関する問題です.

(1), (2) の問題の流れを参考にして (3) を解きます.

解答例.

(1) 実際に A_{n+6}-A_n を計算します.

\begin{align*} A_{n+6}-A_n &= \{2^{n+6}+(n+6)^2\}-\{2^n+n^2\}\\ &= 2^n(2^6-1)+12n+36\\ &= 3\{2^n\times 21+4n+12\} \end{align*}

2^n\times 21+4n+12 は自然数なので, A_{n+6}-A_n は 3 で割り切れる.

(2) (1) の結果から, すべての自然数 n に対して, a_n=a_{n+6} であることがわかる.

n=1, 2, 3, 4, 5, 6 の場合を実際に計算すると,

\begin{align*} A_1 &= 2^1+1^2 = 3\\ A_2 &= 2^2+2^2 = 8\\ A_3 &= 2^3+3^2 = 17\\ A_4 &= 2^4+4^2 = 32\\ A_5 &= 2^5+5^2 = 57\\ A_6 &= 2^6+6^2 = 100 \end{align*}

より,

\begin{align*} a_1 &= 0\\ a_2 &= 2\\ a_3 &= 2\\ a_4 &= 2\\ a_5 &= 0\\ a_6 &= 1 \end{align*}

よって, a_n=1 となるのは n が 6 で割り切れるとき. そのような 2018 以下の自然数 n は , 2018=6\times 336+2 より, 336個.

(3) (1), (2)を参考にして解きます.

\begin{align*} B_{n+4}-B_n &= \{3^{n+4}+(n+4)^3\} - \{3^n+n^3\}\\ &= 3^n(3^4-1)+12n^2+48n+64\\ &= 4\{3^n\times 20+3n^2+12n+16\} \end{align*}

3^n\times 20+3n^2+12n+16 は自然数なので, B_{n+4}-B_n は 4 で割り切れる.

つまり, すべての自然数 n に対して, b_n=b_{n+4}.

n=1, 2, 3, 4 の場合を実際に計算すると,

\begin{align*} B_1 &= 3^1+1^3 &= 4\\ B_2 &= 3^2+2^3 &= 17\\ B_3 &= 3^3+3^3 &= 54\\ B_4 &= 3^4+4^3 &= 145 \end{align*}

より,

\begin{align*} b_1 &= 0\\ b_2 &= 1\\ b_3 &= 2\\ b_4 &= 1 \end{align*}

よって, b_n=2 となるのは, n を 4 で割って 3 余るとき.

2018 以下の自然数で 4 で割って 3 余るのは, 3, 7, \ldots, 2015 で, 個数は (2015-3)/4+1=504 個.

スポンサーリンク
sub2
sub2
  • このエントリーをはてなブックマークに追加