神大2017年度理科系第1問

この記事の所要時間: 528

問題.

\(a, b\) を \(0\leqq a < b\leqq 1\) を満たす実数とし,

点 A, B の座標をそれぞれ \((a, 1-a^2), (b, 1-b^2)\) とする.

また原点を O, 点 \((0,1-a^2), (a, 1-b^2), (a,0), (b,0)\) をそれぞれ C, D, E, F とする. 長方形 COEA と長方形 DEFB の面積の和を \(S\) とする. 以下の問に答えよ.

(1) \(S\) を \(a, b\) で表せ.

(2) \(b\) の値を固定し, \(a\) の値のみを変化させるとき, \(S\) が最大となる \(a\) を \(b\) を用いて表せ.

(3) \(a, b\) の値をともに変化させるとき, \(S\) の最大値を \(M\) とおく. \(M^2\) を求め, \(S<\dfrac{1}{2}\) を示せ.

2 変数の関数の最大値に関する問題です.

途中の計算は少し大変ですが, 小問の流れに従って解いていけばそこまで難しくはありません.

解答例.

(1) 四角形 COEA の面積は \(a(1-a^2)\),

四角形 DEFB の面積は \((b-a)(1-b^2)\) なので,

\begin{align*}
S &= a(1-a^2) + (b-a)(1-b^2)\\
&= -a^3-b^3+ab^2+b.
\end{align*}

(2) \(S\) を, \(b\) を定数とみなして \(a\) で微分すると,

\begin{align*}
\dfrac{dS}{da} &= -3a^2+b^2\\
&= -(3a-\sqrt{3}b)\left(a+\frac{b}{\sqrt{3}}\right)
\end{align*}

よって, \(\dfrac{dS}{da}=0\) となるのは \(a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}b\) のとき.

増減表を描くと,

よって, \(a = \frac{\sqrt{3}}{3}b\) のとき \(S\) は最大となる.

(3) \(S\) に \(a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}b\) を代入すると,

\begin{align*}
S &= -\left(\frac{\sqrt{3}}{3}b\right)^3-b^3+\frac{\sqrt{3}}{3}b\cdot b^2+b\\
&= -\frac{9-2\sqrt{3}}{9}b^3+b
\end{align*}

ここで, \(f(b) = -\frac{9-2\sqrt{3}}{9}b^3+b\) とおくと, \(b\) の値を変化させたときの \(f(b)\) の最大値が \(M\) である.

\(f(b)\) を \(b\) で微分すると,

\begin{align*}
f^\prime(b) &= -\frac{9-2\sqrt{3}}{3}b^2+1
\end{align*}

となるので, \(f^\prime(b)=0\) となるのは \(b=\sqrt{\dfrac{3}{9-2\sqrt{3}}}\) のとき.

\(b_0 = \sqrt{\dfrac{3}{9-2\sqrt{3}}}\) として, 増減表を描くと,

よって,

\begin{align*}
M &= f(b_0)\\
&= -\frac{9-2\sqrt{3}}{9}b_0^3+b_0\\
&= \left(-\frac{9-2\sqrt{3}}{9}b_0^2+1\right)b_0\\
&= \left\{-\frac{9-2\sqrt{3}}{9}\left(\sqrt{\dfrac{3}{9-2\sqrt{3}}}\,\right)^2+1\right\}\sqrt{\dfrac{3}{9-2\sqrt{3}}}\\
&= \frac{2}{3}\sqrt{\dfrac{3}{9-2\sqrt{3}}}
\end{align*}

2乗すると,

\begin{align*}
M^2 &= \frac{4}{9}\cdot\frac{3}{9-2\sqrt{3}}\\
&= \frac{4}{3\left(9-2\sqrt{3}\right)}\\
&= \frac{4\left(9+2\sqrt{3}\right)}{207}
\end{align*}

\(M^2\) と \(1/4\) との大小を比較します.

\begin{align*}
M^2-\frac{1}{4} &= \frac{4\left(9+2\sqrt{3}\right)}{207}-\frac{1}{4}\\
&= \frac{16\left(9+2\sqrt{3}\right)-207}{207\cdot 4}\\
&= \frac{32\sqrt{3}-63}{207\cdot 4}
\end{align*}

ここで,

\begin{align*}
\left(32\sqrt{3}\right)^2-63^2 &= 3072-3969\\
&< 0
\end{align*}

より, \(32\sqrt{3}-63<0\) なので, \(M^2-\frac{1}{4}<0\), つまり \(M^2<\frac{1}{4}\) となります.

\(M>0\) なので, \(M<\frac{1}{2}\) となり, \(S\) は最大値が \(\frac{1}{2}\) より小さいので, \(S<\frac{1}{2}\) となる.

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