等差数列,等比数列,調和数列

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等差数列,等比数列,調和数列

数列とは

数列とは,文字通り数を列のように並べたものです.例えば,

\(1, 2, 3, 4, 5, \ldots\)

\(3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, \ldots\)

という感じです.並べる数は整数に限りません.

ある数列があるときに,そこに並んでいる数を項(特に,左端から \(n\) 番目の項を第 \(n\) 項,第1項のことを初項)といい,任意の \(n\) について第 \(n\) 項が \(n\) の式で表されるとき,それを一般項と呼びます.また,一般項が \(a_n\) で表される数列を \(\{a_n\}\) で表します.

例えば,\(1, 2, 3, 4, 5, \ldots\) の一般項は \(a_n=n\) です.

漸化式

漸化式とは,数列のいくつかの項の値が満たすべき関係式のことです.

通常は,漸化式と初項などのいくつかの項が与えられると,すべての項を計算することができます.

例えば,隣り合った項の間の関係式

\[a_n+a_{n+1}=(n+1)^2\quad(n=1, 2, \ldots)\]

が漸化式として与えられたとき,初項 \(a_1=1\) が与えられると,

\(a_1+a_2=2^2\) より \(a_2=3\),

\(a_2+a_3=3^2\) より \(a_3=6\),

\(a_3+a_4=4^2\) より \(a_3=10\),

・・・

のように順番に計算できます.

以下では,数列の中でもいくつかの重要なものについて簡単に紹介します.

(それぞれについて更に詳しいことは別の記事に書く予定です.)

等差数列

等差数列とは,隣り合った項の差が一定であるような数列です.

初項が \(a\), 隣り合った項の差が \(d\) である等差数列

\(a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, \ldots\)

は一般項 \(a_n=a+(n-1)d\) で表されます.

このとき,\(d\) を公差と呼びます.

漸化式では \(a_{n+1}=a_n+d\,\,(n=1, 2, \ldots)\) と書けます.

等比数列

等比数列とは,隣り合った項の比が一定であるような数列です.

初項が \(a\), 隣り合った項の比が \(r\) である等比数列

\(a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots\)

は一般項 \(a_n=ar^{n-1}\) で表されます.

このとき,\(r\) を公比と呼びます.

漸化式では \(a_{n+1}=ra_n\,\,(n=1, 2, \ldots)\) と書けます.

調和数列

調和数列は,高校数学では特に出てくることはありませんが紹介しておきます.

調和数列とは,各項の逆数が等差数列になっているような数列です.

数列 \(\{a_n\}\) が等差数列 \(a_n=a+(n-1)d\) であるとき,逆数をとった数列 \(\{b_n\}\)

\(b_n=a_n^{-1}=\dfrac{1}{a+(n-1)d}\) は調和数列です.

一般には,調和数列については逆数をとって等差数列で扱うことの方が多いのであまり見かけないかと思います.

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