京大2021年度理系第6問(対偶証明：平均値の定理)
問1 \(n\) を \(2\) 以上の整数とする．\(3^n-2^n\) が素数ならば \(n\) も素数であることを示せ． 問2 \(a\) を \(1\) より大きい定数とする．微分可能な関数 \(f(x)\) が \(f(a)=af(1)\) を満たすとき，曲線 \(y=f(x)\) の接線で原点 \((0, 0)\) を通るものが存在することを示せ．
京大2021年度理系第5問(軌跡)
\(xy\) 平面において，2点 \(\mathrm{B}(-\sqrt{3}, -1), \mathrm{C}(\sqrt{3}, -1)\) に対し，点 \(\mathrm{A}\) は次の条件 \((\ast)\)を満たすとする． \((\ast)\) \(\angle{\mathrm{BAC}}=\frac{\pi}{3}\) かつ点 \(\mathrm{A}\) の \(y\) 座標は正． 次の各問に答えよ． (1) \(\triangle\mathrm{ABC}\) の外心の座標を求めよ． (2) 点 \(\mathrm{A}\) が条件 \((\ast)\) を満たしながら動くとき，\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) の垂心の軌跡を求めよ．
京大2021年度理系第3問(無限級数)
無限級数\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^n\cos\frac{n\pi}{6}\)の和を求めよ．
京大2021年度理系第2問(微分・最小値)
曲線 \(y=\frac{1}{2}(x^2+1)\)上の点\(\mathrm{P}\)における接線は\(x\)軸と交わるとし，その交点を\(\mathrm{Q}\)とおく．線分\(\mathrm{PQ}\)の長さを\(L\)とするとき，\(L\)が取りうる値の最小値を求めよ．
京大2021年度理系第１問-問2(確率)
赤玉，白玉，青玉，黄玉が１個ずつ入った袋がある．よくかきまぜた後に袋から玉を1個取り出し，その玉の色を記録してから袋に戻す．この試行を繰り返すとき，\(n\)回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ．ただし，\(n\)は4以上の整数とする．
京大2021年度理系第１問-問1(ベクトル)
\(xyz\)空間の3点\(\mathrm{A}(1, 0, 0), \mathrm{B}(0, -1, 0), \mathrm{C}(0, 0, 2)\)を通る平面\(\alpha\)に関して点\(\mathrm{P}(1, 1, 1)\)と対称な点\(\mathrm{Q}\)の座標を求めよ．
Project Euler 323. Bitwise-OR operations on random integers
\(y_0, y_1, y_2, \ldots\) をランダムな符号なし32ビット整数とする(つまり，\(0\leq y_i<2^{32}\), 任意の値が同様に確からしく現れるとする)． 列\(x_i\)に対して，次の漸化式が与えられている： \(x_0=0\), \(x_i=x_{i-1}|y_{i-1}\), (i>0). (\( | \)はビットごとのORをとる操作) 最終的に，ある添字\(N\)が存在して全ての\(i\geq N\)に対して\(x_i=2^{32}-1\)(すべての桁が1であるビットパターン)となることが分かる． \(N\)の期待値を求めよ．答えは小数点以下10桁に四捨五入して答えよ．
