問題.
問題.
\(n\) を自然数とする. \(x\) の方程式 \(x^3+n-1=n\sqrt[3]{nx-n+1}\) が3つの異なる整数解を持つような \(n\) の条件を求めよ.
自作問題の23番の問題と解説です.
左辺は3次式, 右辺は3乗根となっていて, もし両辺を3乗して整理すると,
\begin{align*}
(x^3+n-1)^3 = n^3(nx-n+1)
\end{align*}
9次の方程式となってしまい上手く解けません.
そこで, 問題の方程式の特徴を見つけて解きます.
答えはこのページの少し下にあります.
解答.
与えられた方程式は \(x^3=n\sqrt[3]{nx-n+1}-n+1\) なので,
\(y=\sqrt[3]{nx-n+1}\) とおくと
\begin{align}
y^3 &= nx-n+1 \tag{1}\\
x^3 &= ny-n+1 \tag{2}
\end{align}
となり, \(x, y\) についての対称な関係式が現れます.
(1)から(2)を引いて
\[y^3-x^3=n(x-y)\]
移項, 因数分解して
\[(y-x)(y^2+yx+x^2+n)=0\]
\(y^2+yx+x^2+n=\left(y+\frac{x}{2}\right)^2+\frac{3}{4}x^2+n\neq 0\) なので \(y=x\).
(2)に \(y=x\) を代入して \(x\) について解きます.
\[x^3=nx-n+1\]
\[x^3-nx+n-1=0\]
\[(x-1)(x^2+x-n+1)=0\]
\[\therefore x=1, \frac{1}{2}(-1\pm \sqrt{4n-3})\]
\(\frac{1}{2}(-1\pm\sqrt{4n-3})\)が整数となるとき, \(\sqrt{4n-3}\)は奇数なので
\(\sqrt{4n-3}=2m-1, m:\)自然数とおくと
\(n=m^2-m+1\)
元の方程式の解は \(x=1, m-1, -m\) となり, これらが異なる解になるには \(m\neq2\).
以上より, \(n=m^2-m+1\), \(m\) は 2 でない自然数.
最後に
解答例の中の \(y\) と \(x\) の関係式(1)を
\begin{align*}
y=f(x)=\sqrt[3]{nx-n+1}
\end{align*}
とおくと, 式(2)は
\begin{align*}
x=f(y)
\end{align*}
つまり, 逆関数を用いれば,
\begin{align*}
y = f^{-1}(x)
\end{align*}
となります.
つまり, はじめの方程式の解 \(x\) を求めることは, \(y=f(x)\) と \(y=f^{-1}(x)\) の交点を求めることだったわけです.
\(y=f(x)\) と \(y=f^{-1}(x)\) のグラフは直線 \(y=x\) について対称なので, それらが \(y=x\) 上で交わりそうだ, という発想から生まれた問題です.
