問題.
\(\triangle{ABC}\) は, 条件 \(\angle{B}=2\angle{A}\), \(BC=1\) を満たす三角形のうちで面積が最大のものであるとする. このとき, \(\cos{\angle{B}}\) を求めよ.
微分して最大値を求める問題です. \(\angle{B}\) の大きさはきれいな値として求まらないところと, 三角関数の変形(和と積の書き換え, 2倍角の公式など)を上手くできるかがポイントになってきます.
解答.
\(\angle{A}=\theta\) とおくと, \(\angle{B}=2\angle{A}=2\theta\).
正弦定理より,
\(\displaystyle \frac{AC}{\sin{\angle{B}}}=\frac{BC}{\sin{\angle{A}}}\) なので,
\begin{align*}
AC &= BC\cdot \frac{\sin{\angle{B}}}{\sin{\angle{A}}}\\
&= 1\cdot \frac{\sin{2\theta}}{\sin{\theta}}\\
&= \frac{2\sin{\theta}\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\\
&= 2\cos{\theta}
\end{align*}
\(\triangle{ABC}\) の面積を \(S\) とすると,
\begin{align}
S &= \frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\sin{\angle{C}}\\
&= \frac{1}{2}\cdot 2\cos{\theta}\cdot 1\cdot \sin(\pi-3\theta)\\
&= \cos{\theta}\sin{3\theta}\\
&= \frac{1}{2}(\sin{4\theta}+\sin{2\theta}) \tag{1}
\end{align}
\(S\) を \(\theta\) で微分すると
\begin{align*}
\frac{dS}{d\theta} &= 2\cos{4\theta}+\cos{2\theta}\\
&= 2(2\cos^2{2\theta}-1)+\cos{2\theta}\\
&= 4\cos^2{2\theta}+\cos{2\theta}-2 \tag{2}
\end{align*}
三角形の内角の和が \(\pi\) より, \(0<3\theta<\pi\) なので, \(\displaystyle 0<2\theta<\frac{2}{3}\pi\) で, \(\displaystyle -\frac{1}{2}<\cos{2\theta}<1\).
\(\displaystyle \frac{dS}{d\theta}=0\) となるのは \(\displaystyle \cos{2\theta}=\frac{-1+\sqrt{33}}{8}\) のときで, このときの \(\theta\) の値を \(\alpha\) とおくと, \(S\) の増減表は下のようになり, \(\theta=\alpha\) で \(S\) は最大となります.
したがって, 面積最大のとき
\[\cos{\angle{B}}=\cos{2\alpha}=\frac{-1+\sqrt{33}}{8}\]
追記.
\(S\) の計算式(1)では三角関数の積を和に直す公式
\begin{align*}
\cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\beta-\alpha)\}
\end{align*}
を,
\(\dfrac{dS}{d\theta}\) の計算式(2)では2倍角の公式
\begin{align*}
\cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha}-1
\end{align*}
を使っています.
これらはよく使うので, 「三角関数の角度に関する公式」を参考にして覚えましょう.
