京大2013年度理系第6問・文系第5問(確率)

京大2013年度理系第6問文系第5問(確率)

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問題

投げたとき表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する. 数直線上に石を置き, この硬貨を投げて表が出れば数直線上で原点に関して対称な点に石を移動し, 裏が出れば数直線上で座標 1 の点に関して対称な点に石を移動する.

(1) 石が座標 $x$ の位置にあるとする. 2 回硬貨を投げたとき, 石が座標 $x$ の位置にある確率を求めよ.

[文系]

(2) 石が原点にあるとする. $n$ を自然数とし, $2n$ 回硬貨を投げたとき, 石が座標 $2n$ の点にある確率を求めよ.

[理系]

(2) 石が原点にあるとする. $n$ を自然数とし, $2n$ 回硬貨を投げたとき, 石が座標 $2n-2$ の点にある確率を求めよ.

確率の問題. (1) が (2) の考え方のヒントとなっています. (2) は, 文系の方が少しだけ易しくなってはいますが, 文理ともに易しい問題です.

(1) 2 回投げたコインの表裏と石の座標の移動を 4 通りすべて調べます.

(i) 表→表のとき, 座標は $x\to -x\to x$

(ii) 表→裏のとき, 座標は $x\to -x\to x+2$

(iii) 裏→表のとき, 座標は $x\to -x+2\to x-2$

(iv) 裏→裏のとき, 座標は $x\to -x+2\to x$

よって, 2 回硬貨を投げて石が座標$x$の位置にある確率は, $\displaystyle \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(2) [文系]

$2n$ 回硬貨を投げて座標が $2n$ に移動するのは, (1) の (ii) のケースが $n$ 回繰り返される, つまり表→裏→表→裏→…→裏となる場合のみ. よって, 確率は

$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\right)^n=\frac{1}{4^n}$.

[理系] $2n$ 回硬貨を投げて座標が $2n-2$ に移動するのは, (1) の (i) または (iv) のケースが合わせて1回, (ii) のケースが $n-1$ 回起こる場合であって, 起こる順番も考慮して,

$\displaystyle {}_nC_1\cdot \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}=\frac{n}{2^{2n-1}}$.