方べきの定理
(1) 円の内部または外側の点 P を通る 2 本の直線がそれぞれ円と 2 点 A, B, C, D で交わっているとき, 次の式が成り立つ.
\[PA\cdot PB=PC\cdot PD\]
(2) 円の外部の点 P を通り, 円と 2 点 A, B で交わる直線と, 円と点 C で接する直線があるとき, 次の式が成り立つ.
\[PA\cdot PB = {PC}^2\]
(2)のパターンは, (1)の点 P が円の外側にある場合で, 点 C と点 D が一致していると考えると覚えやすいです. この定理はすべて三角形の相似から証明されます.
証明.
(1) 
[1]点 P が円の内側にある場合
円周角の定理より, \(\angle{BAC}=\angle{BDC}\), つまり \(\angle{PAC}=\angle{PDB}\)
また, 対頂角の関係から, \(\angle{APC}=\angle{DPB}\)
よって, \(\triangle{PAC}\)~\(\triangle{PDB}\)なので,
\(PA:PD=PC:PB\) より, \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\).
[2] 点 P が円の外側にある場合
円に内接する四角形の向かい合う角の和が \(180^\circ\) であることを用いて,
\(\angle{PAC}=\angle{PDB}\)
また, \(\angle{P}\) は共通なので
\(\triangle{PAC}\) ∽ \(\triangle{PDB}\).
\(PA:PD=PC:PB\) より, \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\).
(2) 点 P が円の外部にあり, 直線が 1 本は円に接している場合
接弦定理より, \(\angle{PBC}=\angle{PCA}\)
また, \(\angle{P}\) は共通.
よって, \(\triangle{PBC}\)∽\(\triangle{PCA}\).
\(PB:PC=PC:PA\) より, \(PA\cdot PB={PC}^2\).
