より一般的なトレミーの定理
四角形 ABCD の辺と対角線の長さについて, 次の不等式が成り立つ.
\[AB\cdot CD+AD\cdot BC\geqq AC\cdot BD\]
等号が成立するのは, 四角形 ABCD が円に内接するときのみ.
この定理の等号の部分だけを取り上げた次の定理がトレミーの定理として有名です.
円に内接する四角形 ABCD について, 次の等式が成り立つ.
\[AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD\]
こちらの定理のみの証明はこちら.
証明.
四角形 ABCD に対して,
\(\triangle{ABE}\) ∽ \(\triangle{ADC}\)
となる点 E を, 辺 AB からみて点 C と反対側にとる. このとき,
\begin{align}
AB:AD=BE:DC=EA:CA \tag{1}
\end{align}
(1)より,
\begin{align}
AB\cdot DC=AD\cdot BE \tag{2}
\end{align}
\(\triangle{AEC}\) と \(\triangle{ABD}\) において,
(1)より, \(AE:AC=AB:AD\).
また, \(\angle{EAB}=\angle{CAD}\) から, \(\angle{EAC}=\angle{BAD}\)
よって, 2 辺の比とその間の角が等しいから, \(\triangle{AEC}\) ∽ \(\triangle{ABD}\) となり,
\(EC:BD=AC:AD\) より
\begin{align}
AC\cdot BD=AD\cdot EC \tag{3}
\end{align}
(3)-(2)より,
\begin{align}
AC\cdot BD-AB\cdot DC&= AD\cdot EC – AD\cdot BE\\
&= AD\cdot(EC-BE) \tag{4}
\end{align}
[1]3点 E, B, C が一直線上にないとき
\(\triangle{BEC}\) に関して, \(BC+BE>EC\) が成り立つので, \(BC>EC-BE\).
両辺に \(AD(>0)\) を掛けて,
\begin{align}
AD\cdot BC&>AD\cdot(EC-BE)\\
&= AC\cdot BD-AB\cdot DC\quad (\because (4)) \tag{5}
\end{align}
したがって, \(AB\cdot CD+AD\cdot BC>AC\cdot BD\).
[2] 3点 E, B, C が一直線上にあるとき
\(EB+BC=EC\) より, \(BC=EC-BE\)
両辺に \(AD(>0)\) を掛けて,
\begin{align}
AD\cdot BC &= AD(EC-BE)\\
&= AC\cdot BD-AB\cdot DC\quad(\because(4)) \tag{6}
\end{align}
したがって,
\begin{align}
AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD \tag{7}
\end{align}
逆に, (7) が成り立つとき, \(EB+BC=EC\) が成り立ち, 3点 E, B, C は一直線上にある.
このとき, \(\angle{EBA}+\angle{ABC}=180^\circ\) で, \(\triangle{ABE}\) ∽ \(\triangle{ADC}\) より, \(\angle{ADC}+\angle{ABC}=180^\circ\).
よって四角形 ABCD は円に内接する.
