問題.
数列 \(\{a_n\}\) は, すべての正の整数 \(n\) に対して \(\displaystyle 0\leqq 3a_n\leqq\sum_{k=1}^n a_k\) を満たしているとする. このとき, すべての \(n\) に対して \(a_n=0\) であることを示せ.
数学的帰納法の次のような特別なパターンを使う問題です. このパターンを知っていれば比較的簡単に解けます.
[1] \(n=1\) のときを示す.
[2] \(n=1, 2, \cdots, m\) について成り立つなら \(n=m+1\) でも成り立つことを示す.
\(n=m+1\) の場合を示すのに, \(n=1\) から \(n=m\) のすべての場合の仮定が必要になっています.
解答.
\begin{align*}
0\leqq 3a_n \leqq\sum_{k=1}^n a_k
\end{align*}
数学的帰納法で示します.
[1] \(n=1\) のとき
(1)で \(n=1\) とすると,
\(0\leqq 3a_1\leqq a_1\)
となり,
\(0\leqq 3a_1\) より \(0\leqq a_1\)
\(3a_1\leqq a_1\) より \(2a_1\leqq 0\) なので \(a_1\leqq 0\)
よって, \(0\leqq a_1\leqq 0\) より \(a_1=0\)
[2] \(n=1, 2, \cdot, m\) について \(a_n=0\) が成り立つと仮定すると,
\(a_1=a_2=\cdots=a_m=0\) なので,
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{m+1} a_k &= a_1+a_2+\cdots+a_m+a_{m+1}\\
&= 0+0+\cdots+0+a_{m+1}\\
&= a_{m+1}
\end{align*}
となり,
(1)で \(n=m+1\) としたものを考えると
\(0\leqq 3a_{m+1}\leqq a_{m+1}\)
\(0\leqq 3a_{m+1}\) より \(0\leqq a_{m+1}\)
\(3a_{m+1}\leqq a_{m+1}\) より \(2a_{m+1}\leqq 0\) なので, \(a_{m+1}\leqq 0\)
よって, \(0\leqq a_{m+1}\leqq 0\) より \(a_{m+1}=0\).
したがって, [1][2]よりすべての \(n\) について \(a_n=0\) である.
