チェバの定理とその逆

この記事の所要時間: 340

チェバの定理

チェバの定理

定理 : \(\triangle{ABC}\)の頂点\(A, B, C\)と, この三角形の辺及びその延長上に無い点\(O\)を結ぶ. 各直線が対辺またはその延長とそれぞれ点\(P\), \(Q\), \(R\)で交わるとき, 次の等式が成り立つ.

\(\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1\)

Ceva1Ceva2

この定理では点\(O\)が三角形の内部にある場合(左の図)と外側にある場合(右の図)があります. よく使うのは左の図の場合ですが, 右側のような場合も使えることを覚えておきましょう.

公式の覚え方としては, メネラウスの定理の場合とほとんど同じですが, 三角形の頂点と, 辺(またはその延長)上の点を交互にたどっていくイメージです.

チェバの定理の逆

\(\triangle{ABC}\)の辺\(BC\), \(CA\), \(AB\)またはその延長上にそれぞれ点\(P\), \(Q\), \(R\)があり, この3点のうち1個または3個が辺上の点であるとする. このとき,

\(BQ\)と\(CR\)が交わり, かつ

\(\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1\)

が成り立つならば, 3直線\(AP\), \(BQ\), \(CR\)は1点で交わる.

証明

チェバの定理

点\(O\)が\(\triangle{ABC}\)の内部にある場合, 外部にある場合にかかわらず,

三角形の面積と線分の比の関係から,

\(BP:PC=\triangle{OAB}:\triangle{OAC}\)

すなわち\(\displaystyle \frac{BP}{PC}=\frac{\triangle{OAB}}{\triangle{OAC}}\)

同様に,

\(\displaystyle \frac{CQ}{QA}=\frac{\triangle{OBC}}{\triangle{OAB}}\)

\(\displaystyle \frac{AR}{RB}=\frac{\triangle{OAC}}{\triangle{OBC}}\)

以上より,

\begin{align*}
\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB} &= \frac{\triangle{OAB}}{\triangle{OAC}}\cdot\frac{\triangle{OBC}}{\triangle{OAB}}\cdot\frac{\triangle{OAC}}{\triangle{OBC}}\\
&= 1
\end{align*}

チェバの定理の逆

2直線\(BQ\), \(CR\)の交点を\(O\)として, 直線\(AO\)と辺\(BC\)の交点を\(P^\prime\)とする.

このとき, チェバの定理より

\(\displaystyle \frac{BP^\prime}{P^\prime C}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1\)

一方, 仮定より

\(\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1\)

なので,

\(\displaystyle \frac{BP^\prime}{P^\prime C}=\frac{BP}{PC}\)

\(P\)と\(P^\prime\)はともに\(BC\)上にあるので一致する.

よって, 3直線\(AP\), \(BQ\), \(CR\)は1点で交わる.

チェバの定理の逆の応用例

別のページでチェバの定理の逆の応用例として, 三角形の垂心, 内心, 重心の存在の証明を紹介しています.

—>チェバの定理の逆の応用例

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