チェバの定理とその逆

2016/3/15 2017/2/20 定義・定理・公式など

この記事の所要時間：約 3分34秒

チェバの定理

チェバの定理

定理 : $\triangle{ABC}$ の頂点 $A, B, C$ と, この三角形の辺及びその延長上に無い点 $O$ を結ぶ. 各直線が対辺またはその延長とそれぞれ点 $P$ , $Q$ , $R$ で交わるとき, 次の等式が成り立つ.

$\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1$

この定理では点 $O$ が三角形の内部にある場合(左の図)と外側にある場合(右の図)があります. よく使うのは左の図の場合ですが, 右側のような場合も使えることを覚えておきましょう.

公式の覚え方としては, メネラウスの定理の場合とほとんど同じですが, 三角形の頂点と, 辺(またはその延長)上の点を交互にたどっていくイメージです.

チェバの定理の逆

$\triangle{ABC}$ の辺 $BC$ , $CA$ , $AB$ またはその延長上にそれぞれ点 $P$ , $Q$ , $R$ があり, この3点のうち1個または3個が辺上の点であるとする. このとき,

$BQ$ と $CR$ が交わり, かつ

$\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1$

が成り立つならば, 3直線 $AP$ , $BQ$ , $CR$ は1点で交わる.

証明

チェバの定理

点 $O$ が $\triangle{ABC}$ の内部にある場合, 外部にある場合にかかわらず,

三角形の面積と線分の比の関係から,

$BP:PC=\triangle{OAB}:\triangle{OAC}$

すなわち $\displaystyle \frac{BP}{PC}=\frac{\triangle{OAB}}{\triangle{OAC}}$

同様に,

$\displaystyle \frac{CQ}{QA}=\frac{\triangle{OBC}}{\triangle{OAB}}$

$\displaystyle \frac{AR}{RB}=\frac{\triangle{OAC}}{\triangle{OBC}}$

以上より,

(1) $\begin{eqnarray*} \frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB} &=& \frac{\triangle{OAB}}{\triangle{OAC}}\cdot\frac{\triangle{OBC}}{\triangle{OAB}}\cdot\frac{\triangle{OAC}}{\triangle{OBC}}\\ &=& 1 \end{eqnarray*}$

チェバの定理の逆

2直線 $BQ$ , $CR$ の交点を $O$ として, 直線 $AO$ と辺 $BC$ の交点を $P^\prime$ とする.

このとき, チェバの定理より

$\displaystyle \frac{BP^\prime}{P^\prime C}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1$

一方, 仮定より

$\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1$

なので,

$\displaystyle \frac{BP^\prime}{P^\prime C}=\frac{BP}{PC}$

$P$ と $P^\prime$ はともに $BC$ 上にあるので一致する.

よって, 3直線 $AP$ , $BQ$ , $CR$ は1点で交わる.

チェバの定理の逆の応用例

別のページでチェバの定理の逆の応用例として, 三角形の垂心, 内心, 重心の存在の証明を紹介しています.

—>チェバの定理の逆の応用例

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