チェバの定理の逆
チェバの定理の逆は以下のようなものでした.
\(\triangle{\mathrm{ABC}}\)の辺\(\mathrm{BC}\), \(\mathrm{CA}\), \(\mathrm{AB}\)またはその延長上にそれぞれ点\(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\)があり, この3点のうち1個または3個が辺上の点であるとする. このとき,
\(\mathrm{BQ}\)と\(\mathrm{CR}\)が交わり, かつ
\[ \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}\cdot\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1\]
が成り立つならば, 3直線\(\mathrm{AP}\), \(\mathrm{BQ}\), \(\mathrm{CR}\)は1点で交わる.
今回は, この定理の利用例として, 三角形の重心, 内心, 垂心の存在証明をしてみます.
重心の存在
三角形の重心 :
三角形の3本の中線(頂点と向かい合った辺の中点を結ぶ線分)は1点で交わり, その点を重心という.
三角形の3本の中線が1点で交わることを示します.
証明.
図のように\(\triangle{\mathrm{ABC}}\)の辺\(\mathrm{BC}\), \(\mathrm{CA}\), \(\mathrm{AB}\)の中点をそれぞれ\(\mathrm{D}\), \(\mathrm{E}\), \(\mathrm{F}\)とします. 
すると, 中線の定義から
\begin{align}
\mathrm{BD} &= \mathrm{CD}\\
\mathrm{CE} &= \mathrm{AE}\\
\mathrm{AF} &= \mathrm{BF}
\end{align}
なので,
\begin{align}
\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}} &= 1\cdot 1\cdot 1\\
&= 1
\end{align}
となるので, チェバの定理の逆により3本の中線は1点で交わります.
内心の存在
三角形の内心 :
三角形の3つの内角の2等分線は1点で交わり, その交点を内心という.
三角形の3つの内角の二等分線が1点で交わることを示します.
証明.
図のように角\(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\)の2等分線が辺\(\mathrm{BC}\), \(\mathrm{CA}\), \(\mathrm{AB}\)と交わる点をそれぞれ\(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\)とします. 
角の2等分線の定理により,
\(\mathrm{BP} : \mathrm{PC} = \mathrm{AB} : \mathrm{AC}\)なので\[\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}.\]
同様に,
\(\mathrm{CQ} : \mathrm{QA} = \mathrm{BC} : \mathrm{BA}\)なので\[\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}\]
\(\mathrm{AR} : \mathrm{RB} = \mathrm{CA} : \mathrm{CB}\)なので\[ \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}\]
以上を辺々掛けて,
\begin{align}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}\cdot\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} &= \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\cdot\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}\cdot\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}\\
&= 1
\end{align}
となるので, チェバの定理の逆により\(\mathrm{AP}\), \(\mathrm{BQ}\), \(\mathrm{CR}\)は1点で交わります.
垂心の存在
三角形の垂心 :
三角形の各頂点から対辺(またはその延長)に下ろした垂線は, 1点で交わり, その点を垂心という.
証明.
(ここでは鋭角三角形の場合を証明します. 直角三角形, 鈍角三角形の場合も同様にして証明できます. )
\(\triangle{\mathrm{ABC}}\)の各頂点\(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\)から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ\(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\)とします. 
\(\triangle{\mathrm{ABP}}\)と\(\triangle{\mathrm{CBR}}\)において,
\(\angle{\mathrm{B}}\)が共通で,
\(\angle{\mathrm{BPA}}=\angle{\mathrm{BRC}}=90^\circ\)
より, 2組の角がそれぞれ等しく
\(\triangle{\mathrm{ABP}}\)∽\(\triangle{\mathrm{CBR}}\)
よって,
\[ \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BR}} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CB}}\]
同様にして,
\(\triangle{\mathrm{BCQ}}\)∽\(\triangle{\mathrm{ACP}}\)より
\[ \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{CP}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\]
\(\triangle{\mathrm{ACR}}\)∽\(\triangle{\mathrm{ABQ}}\)より
\[ \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{AQ}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{BA}}\]
以上より,
\begin{align}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}\cdot\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} &= \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{RB}}\cdot\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{PC}}\cdot\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{QA}}\\
&= \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CB}}\cdot\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\cdot\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{BA}}\\
&= 1
\end{align}
となるので, チェバの定理の逆により\(\mathrm{AP}\), \(\mathrm{BQ}\), \(\mathrm{CR}\)は1点で交わります.
