チェバの定理の逆の利用例

2016/3/17 2016/4/2 応用例・利用例

この記事の所要時間：約 4分49秒

チェバの定理の逆

チェバの定理の逆は以下のようなものでした.

$\triangle{ABC}$ の辺 $BC$ , $CA$ , $AB$ またはその延長上にそれぞれ点 $P$ , $Q$ , $R$ があり, この3点のうち1個または3個が辺上の点であるとする. このとき,

$BQ$ と $CR$ が交わり, かつ

$\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1$

が成り立つならば, 3直線 $AP$ , $BQ$ , $CR$ は1点で交わる.

今回は, この定理の利用例として, 三角形の重心, 内心, 垂心の存在証明をしてみます.

重心の存在

三角形の重心 :

三角形の3本の中線(頂点と向かい合った辺の中点を結ぶ線分)は1点で交わり, その点を重心という.

三角形の3本の中線が1点で交わることを示します.

証明.

図のように $\triangle{ABC}$ の辺 $BC$ , $CA$ , $AB$ の中点をそれぞれ $D$ , $E$ , $F$ とします.

すると, 中線の定義から

(1) $\begin{eqnarray*} BD &=& CD\\ CE &=& AE\\ AF &=& BF \end{eqnarray*}$

なので,

(2) $\begin{eqnarray*} \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB} &=& 1\cdot 1\cdot 1\\ &=& 1 \end{eqnarray*}$

となるので, チェバの定理の逆により3本の中線は1点で交わります.

内心の存在

三角形の内心 :

三角形の3つの内角の2等分線は1点で交わり, その交点を内心という.

三角形の3つの内角の二等分線が1点で交わることを示します.

証明.

図のように角 $A$ , $B$ , $C$ の2等分線が辺 $BC$ , $CA$ , $AB$ と交わる点をそれぞれ $P$ , $Q$ , $R$ とします.

角の2等分線の定理により,

$BP : PC = AB : AC$ なので $\displaystyle \frac{BP}{PC}=\frac{AB}{AC}$

同様に,

$CQ : QA = BC : BA$ なので $\displaystyle \frac{CQ}{QA}=\frac{BC}{BA}$

$AR : RB = CA : CB$ なので $\displaystyle \frac{AR}{RB}=\frac{CA}{CB}$

以上を辺々掛けて,

(3) $\begin{eqnarray*} \frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB} &=& \frac{AB}{AC}\cdot\frac{BC}{BA}\cdot\frac{CA}{CB}\\ &=& 1 \end{eqnarray*}$

となるので, チェバの定理の逆により $AP$ , $BQ$ , $CR$ は1点で交わります.

垂心の存在

三角形の垂心 :

三角形の各頂点から対辺(またはその延長)に下ろした垂線は, 1点で交わり, その点を垂心という.

証明.

(ここでは鋭角三角形の場合を証明します. 直角三角形, 鈍角三角形の場合も同様にして証明できます. )

$\triangle{ABC}$ の各頂点 $A$ , $B$ , $C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $P$ , $Q$ , $R$ とします.

$\triangle{ABP}$ と $\triangle{CBR}$ において,

$\angle{B}$ が共通で,

$\angle{BPA}=\angle{BRC}=90^\circ$

より, 2組の角がそれぞれ等しく

$\triangle{ABP}$ ∽ $\trianagle{CBR}$

よって,

$\displaystyle \frac{BP}{BR} = \frac{AB}{CB}$

同様にして,

$\triangle{BCQ}$ ∽ $\triangle{ACP}$ より

$\displaystyle \frac{CQ}{CP}=\frac{BC}{AC}$

$\triangle{ACR}$ ∽ $\triangle{ABQ}$ より

$\displaystyle \frac{AR}{AQ}=\frac{CA}{BA}$

以上より,

(4) $\begin{eqnarray*} \frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB} &=& \frac{BP}{RB}\cdot\frac{CQ}{PC}\cdot\frac{AR}{QA}\\ &=& \frac{AB}{CB}\cdot\frac{BC}{AC}\cdot\frac{CA}{BA}\\ &=& 1 \end{eqnarray*}$

となるので, チェバの定理の逆により $AP$ , $BQ$ , $CR$ は1点で交わります.

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