チェバの定理の逆の利用例

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チェバの定理の逆

チェバの定理の逆は以下のようなものでした.

\(\triangle{\mathrm{ABC}}\)の辺\(\mathrm{BC}\), \(\mathrm{CA}\), \(\mathrm{AB}\)またはその延長上にそれぞれ点\(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\)があり, この3点のうち1個または3個が辺上の点であるとする. このとき,

\(\mathrm{BQ}\)と\(\mathrm{CR}\)が交わり, かつ

\[ \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}\cdot\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1\]

が成り立つならば, 3直線\(\mathrm{AP}\), \(\mathrm{BQ}\), \(\mathrm{CR}\)は1点で交わる.

Ceva1Ceva2

今回は, この定理の利用例として, 三角形の重心, 内心, 垂心の存在証明をしてみます.

重心の存在

三角形の重心 :

三角形の3本の中線(頂点と向かい合った辺の中点を結ぶ線分)は1点で交わり, その点を重心という.

三角形の3本の中線が1点で交わることを示します.

証明.

図のように\(\triangle{\mathrm{ABC}}\)の辺\(\mathrm{BC}\), \(\mathrm{CA}\), \(\mathrm{AB}\)の中点をそれぞれ\(\mathrm{D}\), \(\mathrm{E}\), \(\mathrm{F}\)とします. center_of_trianglge

すると, 中線の定義から

\begin{align}
\mathrm{BD} &= \mathrm{CD}\\
\mathrm{CE} &= \mathrm{AE}\\
\mathrm{AF} &= \mathrm{BF}
\end{align}

なので,

\begin{align}
\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}} &= 1\cdot 1\cdot 1\\
&= 1
\end{align}

となるので, チェバの定理の逆により3本の中線は1点で交わります.

内心の存在

三角形の内心  :

三角形の3つの内角の2等分線は1点で交わり, その交点を内心という.

三角形の3つの内角の二等分線が1点で交わることを示します.

証明.

図のように角\(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\)の2等分線が辺\(\mathrm{BC}\), \(\mathrm{CA}\), \(\mathrm{AB}\)と交わる点をそれぞれ\(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\)とします. inner_center

角の2等分線の定理により,

\(\mathrm{BP} : \mathrm{PC} = \mathrm{AB} : \mathrm{AC}\)なので\[\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}.\]

同様に,

\(\mathrm{CQ} : \mathrm{QA} = \mathrm{BC} : \mathrm{BA}\)なので\[\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}\]

\(\mathrm{AR} : \mathrm{RB} = \mathrm{CA} : \mathrm{CB}\)なので\[ \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}\]

以上を辺々掛けて,

\begin{align}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}\cdot\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} &= \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\cdot\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}\cdot\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}\\
&= 1
\end{align}

となるので, チェバの定理の逆により\(\mathrm{AP}\), \(\mathrm{BQ}\), \(\mathrm{CR}\)は1点で交わります.

垂心の存在

三角形の垂心 :

三角形の各頂点から対辺(またはその延長)に下ろした垂線は, 1点で交わり, その点を垂心という.

証明.

(ここでは鋭角三角形の場合を証明します. 直角三角形, 鈍角三角形の場合も同様にして証明できます. )

\(\triangle{\mathrm{ABC}}\)の各頂点\(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\)から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ\(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\)とします. orthocenter

\(\triangle{\mathrm{ABP}}\)と\(\triangle{\mathrm{CBR}}\)において,

\(\angle{\mathrm{B}}\)が共通で,

\(\angle{\mathrm{BPA}}=\angle{\mathrm{BRC}}=90^\circ\)

より, 2組の角がそれぞれ等しく

\(\triangle{\mathrm{ABP}}\)∽\(\triangle{\mathrm{CBR}}\)

よって,

\[ \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BR}} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CB}}\]

同様にして,

\(\triangle{\mathrm{BCQ}}\)∽\(\triangle{\mathrm{ACP}}\)より

\[ \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{CP}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\]

\(\triangle{\mathrm{ACR}}\)∽\(\triangle{\mathrm{ABQ}}\)より

\[ \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{AQ}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{BA}}\]

以上より,

\begin{align}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}\cdot\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} &= \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{RB}}\cdot\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{PC}}\cdot\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{QA}}\\
&= \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CB}}\cdot\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\cdot\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{BA}}\\
&= 1
\end{align}

となるので, チェバの定理の逆により\(\mathrm{AP}\), \(\mathrm{BQ}\), \(\mathrm{CR}\)は1点で交わります.

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