三角形と角の2等分線に関する定理

2016/3/18 2016/9/1 定義・定理・公式など

この記事の所要時間：約 2分22秒

三角形と角の2等分線に関する定理

定理

定理1 :

$\triangle{ABC}$ の $\angle{A}$ の2等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とすると,

$AB : AC = BD : DC$

が成り立つ.

また, 三角形の外角の二等分線に関しても同様の定理が成り立ちます.

定理2 :

$AB\neq AC$ である $\triangle{ABC}$ の $\angle{A}$ の外角の2等分線と辺 $BC$ の延長との交点を $D$ とすると,

$AB : AC = BD : DC$

が成り立つ.

また, 次の定理は高校では習わないですが, 知っておくと検算用などで役に立ちます.

定理3 :

$\triangle{ABC}$ の $\angle{A}$ の2等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると,

${AD}^2 = AB\cdot AC - BD\cdot CD$

が成り立つ.

三角形の3辺の長さが分かっていれば, 定理1を用いて $BD$ , $CD$ の長さが分かるので, この定理を用いれば $AD$ の長さが簡単に求まります.

証明.

定理1.

点 $C$ を通り $AD$ に平行な直線を引いて, $BA$ の延長との交点を $E$ とすると,

同位角で $\angle{BAD}=\angle{AEC}$

錯角も等しく, $\angle{ACE}=\angle{CAD}$

仮定より $\angle{BAD}=\angle{CAD}$

でもあるから, $\angle{AEC}=\angle{ACE}$

となって, $\triangle{ACE}$ は二等辺三角形で, $AC=AE$ .

一方で, $\triangle{BEC}$ において $AD\para CE$ より

$AB : AE = BD : DC$

よって, $AB : AC = BD : DC$ .

定理2.

点 $C$ を通り, $AD$ に平行な直線を引いて, $BA$ との交点を $E$ とすると, 定理1の場合同様に同位角, 錯角が等しいことを用いて,

$\angle{AEC}=\angle{ACE}$

となり, $\triangle{ACE}$ は二等辺三角形で, $AC = AE$ .

一方で $AD\para CE$ より

$AB : AE = BD : CD$

よって, $AB : AC = BD : CD$ .

定理3.

定理3の証明は別のページ(三角形の内角の2等分線を引いた長さに関する定理)を見てください.

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