三角形と角の2等分線に関する定理

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三角形と角の2等分線に関する定理

定理

定理1 :

\(\triangle{ABC}\)の\(\angle{A}\)の2等分線と辺\(BC\)との交点を\(D\)とすると,

\(AB : AC = BD : DC\)

が成り立つ.

kakunonitoubunsen1

また, 三角形の外角の二等分線に関しても同様の定理が成り立ちます.

定理2 :

\(AB\neq AC\)である\(\triangle{ABC}\)の\(\angle{A}\)の外角の2等分線と辺\(BC\)の延長との交点を\(D\)とすると,

\(AB : AC = BD : DC\)

が成り立つ.

kakunonitoubunsen2

また, 次の定理は高校では習わないですが, 知っておくと検算用などで役に立ちます.

定理3 :

\(\triangle{ABC}\)の\(\angle{A}\)の2等分線と辺\(BC\)の交点を\(D\)とすると,

\({AD}^2 = AB\cdot AC – BD\cdot CD\)

が成り立つ.

三角形の3辺の長さが分かっていれば, 定理1を用いて\(BD\), \(CD\)の長さが分かるので, この定理を用いれば\(AD\)の長さが簡単に求まります.

証明.

定理1.

kakunonitoubunsen_prove1

点\(C\)を通り\(AD\)に平行な直線を引いて, \(BA\)の延長との交点を\(E\)とすると,

同位角で\(\angle{BAD}=\angle{AEC}\)

錯角も等しく, \(\angle{ACE}=\angle{CAD}\)

仮定より\(\angle{BAD}=\angle{CAD}\)

でもあるから, \(\angle{AEC}=\angle{ACE}\)

となって, \(\triangle{ACE}\)は二等辺三角形で, \(AC=AE\).

一方で, \(\triangle{BEC}\)において\(AD /\!/ CE\)より

\(AB : AE = BD : DC\)

よって, \(AB : AC = BD : DC\).

定理2.

kakunonitoubunsen_prove2

点\(C\)を通り, \(AD\)に平行な直線を引いて, \(BA\)との交点を\(E\)とすると, 定理1の場合同様に同位角, 錯角が等しいことを用いて,

\(\angle{AEC}=\angle{ACE}\)

となり, \(\triangle{ACE}\)は二等辺三角形で, \(AC = AE\).

一方で\(AD /\!/ CE\)より

\(AB : AE = BD : CD\)

よって, \(AB : AC = BD : CD\).

定理3.

定理3の証明は別のページ(三角形の内角の2等分線を引いた長さに関する定理)を見てください.

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