三角形の内角の2等分線を引いた長さに関する定理

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三角形の内角の2等分線を引いた長さに関する定理

定理.

定理 :

\(\triangle{ABC}\)の\(\angle{A}\)の2等分線と辺\(BC\)の交点を\(D\)とすると,

\({AD}^2 = AB\cdot AC – BD\cdot CD\)

が成り立つ.

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この定理は三角形の角の2等分線に関する定理のページでも紹介しましたが, 中学や高校では習わない定理です. しかし知っておくと検算用としても便利です.

問題の例.

: \(AB=5\), \(AC=3\), \(BC=7\)である\(\triangle{ABC}\)について, \(\angle{A}\)の2等分線と辺\(BC\)の交点を\(D\)とするとき, \(BD\)および\(AD\)の長さを求めよ.

:

角の2等分線の定理により,

\(BD : CD = AB : AC = 5 : 3\)

なので,

\(\displaystyle BD = 7\cdot \frac{5}{8}=\frac{35}{8}\)

\(\displaystyle CD = 7\cdot \frac{3}{8} = \frac{21}{8}\)

また, 上の定理より

\(\displaystyle AD^2 = 5\cdot 3 – \frac{35}{8}\cdot\frac{21}{8} = \frac{225}{64}\)

となり,

\(\displaystyle AD = \frac{15}{8}\).

証明.

kakunonitoubunsen3

直線\(AD\)と\(\triangle{ABC}\)の外接円との交点のうち\(A\)でない方の点を\(E\)とする.

弧\(AB\)の円周角より,

\(\angle{ACD}=\angle{AEB}\)

また, 仮定より

\(\angle{DAC}=\angle{BAE}\)

なので,

\(\triangle{ACD}\)∽\(\triangle{AEB}\).

よって,

\(AD : AB = AC : AE\)

より,

\(AD\cdot AE = AB\cdot AC\)

ところで, \(AE=AD+DE\)なので,

\(AD(AD+DE)=AB\cdot AC\)

\(\therefore AD^2=AB\cdot AC – AD\cdot DE\).

方べきの定理を用いると,

\(AD\cdot DE = BD\cdot CD\)

が成り立つので,

\(AD^2 = AB\cdot AC – BD\cdot CD\)

となる.

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