2項定理の応用(自作問題1-(7))

この記事の所要時間: 356

問題.

今回は, 自作問題の1-(7), 2項定理の応用問題の解答, 解説です.

問題. 

\(\displaystyle \left(x+\frac{1}{4x}-1\right)^n\)

を展開したときの定数項を求めよ. 但し, \(n\)は自然数の定数である.

この問題は一見すると多項定理を使う問題です.

多項定理 : 

\((a+b+c)^n\)を展開したときの一般項は,

\(\displaystyle \frac{n!}{p!q!r!}\cdot a^p\ b^q\ c^r\), \((p+q+r=n)\)

と書ける.

しかし, このページの最後に追記として載せておきますが, この方法では上手く計算できません.

今回の問題では, 式を変形して, 2項定理を使います.

2項定理 : 

\((a+b)^n\)を展開したときの一般項は,

\(\displaystyle {}_nC_{p}\cdot a^p\ b^{n-p}\)

と書ける.

解答例.

\begin{align*}
\left(x+\frac{1}{4x}-1\right)^n &= \left(\frac{4x^2+1-4x}{4x}\right)^n\\
&= \left\{\frac{(2x-1)^2}{4x}\right\}^n\\
&= \frac{(2x-1)^{2n}}{(4x)^n}
\end{align*}

なので, まず\((2x-1)^{2n}\)を展開したときの\(x^n\)の係数を求めます.

\((2x-1)^{2n}\)を展開したときの一般項は

\begin{align*}
{}_{2n}C_k\cdot(2x)^k\cdot(-1)^{2n-k} = {}_{2n}C_k \cdot 2^k\cdot(-1)^k\cdot x^k
\end{align*}

なので, \(x^n\)の係数は\({}_{2n}C_n\cdot 2^n\cdot(-1)^n\).

よって, 元の式を展開したときの定数項は

\begin{align*}
\frac{1}{4^n}\times \{{}_{2n}C_n\cdot 2^n\cdot(-1)^n\} = {}_{2n}C_n\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n
\end{align*}

追記.

今回の問題をはじめに式変形せずに多項定理を使うと,

展開したときの一般項が

\begin{align*}
\frac{n!}{p!q!r!}\cdot x^p\cdot \left(\frac{1}{4x}\right)^q\cdot(-1)^r = \frac{n!}{p!q!r!}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^q(-1)^r\cdot x^{p-q}
\end{align*}

となるので, 定数項では\(p-q=0\), つまり\(p=q\).

このとき\(p+q+r=n\)から\(r=n-2p\)であり, 上の式に代入して,

\begin{align*}
\frac{n!}{p!p!(n-2p)!}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^p(-1)^{n-2p}=\frac{n!}{p!p!(n-2p)!}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^p(-1)^{n}
\end{align*}

この形の項の和を求めればいいので, 求めるべき定数項は和の記号を使って次のように書けます.

\begin{align*}
\sum_{0\leqq 2p\leqq n} \frac{n!}{p!p!(n-2p)!}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^p(-1)^{n}
\end{align*}

しかし, この複雑な計算をすることは難しいです(もしかしたら方法があるかもしれませんが).

解答例のはじめの部分の変形に気付けるか, という問題でした.

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