三角形の五心とその性質

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三角形の五心

三角形には, 内心, 外心, 重心, 垂心, 傍心という5種類の「中心」が存在します.

この記事では, それらの定義と性質を紹介します.

内心

定義 : inner_center

三角形の3つの頂点の二等分線は1点で交わり, その点を三角形の内心という.

内心 \(I\)は, 三角形の内接円(3つの辺すべてに接する円)の中心になっています.

なので,\(I\)から三角形の各辺に下ろした垂線の長さが等しくなります.

外心

定義outer_center

三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わり, その点を三角形の外心という.

外心\(O\)は, 三角形の外接円(三角形の3つの頂点すべてを通る円)の中心になっています.

なので, 上の図では, \(OA=OB=OC\)が成り立っています.

重心

定義center_of_trianglge

三角形の3本の中線(頂点と向かい合った辺の中点を結ぶ線分)は1点で交わり, その点を三角形の重心という.

重心は, 重さの中心で, 三角形の板の重心を糸でぶら下げると水平に釣り合います.

三角形の重心\(G\)は, 3本の中線を\(2:1\)に内分することが知られています.

上の図では, \(AG : GD = BG : GE = CG : GF = 2 : 1\)です.

垂心

定義orthocenter

三角形の各頂点から対辺に下ろした垂線は1点で交わり, その点を三角形の垂心という.

内心, 重心, 垂心の存在は, チェバの定理の逆を用いて証明できます.

(—>チェバの定理の逆の利用例)

傍心

定義 :

三角形のある内角の2等分線と, 他の2頂点の外角の2等分線は1点で交わり, その点を三角形の傍心という. 頂点の選び方によって, 傍心は3つ存在する.

三角形\(ABC\)の3つの傍心を\(I, I^\prime, I^{\prime\prime}\)として, 内心を\(I_0\)とすると, \(I_0\)は\(\triangle{II^\prime I^{\prime\prime}}\)の垂心となっている.

三角形の五心がもつ他の性質

1. 正三角形の場合

正三角形においては, 内心, 外心, 重心, 垂心の4つの点はすべて一致します.

また, 三角形の内心, 外心, 重心, 垂心のうち2つ以上が一致するとき, その三角形が正三角形であるといえます.

2. 外心, 重心, 垂心の関係

三角形の形に関係なく, 外心を\(O\), 重心を\(G\), 垂心を\(H\)とすると, この3点\(O, G, H\)は一直線上にあって, 次の式が成り立ちます.

\(OG : GH = 1 : 2\)

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