三角形の五心
三角形には, 内心, 外心, 重心, 垂心, 傍心という5種類の「中心」が存在します.
この記事では, それらの定義と性質を紹介します.
内心
定義 : 
三角形の3つの頂点の二等分線は1点で交わり, その点を三角形の内心という.
内心 \(I\)は, 三角形の内接円(3つの辺すべてに接する円)の中心になっています.
なので，\(I\)から三角形の各辺に下ろした垂線の長さが等しくなります．
外心
定義 : 
三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わり, その点を三角形の外心という.
外心\(O\)は, 三角形の外接円(三角形の3つの頂点すべてを通る円)の中心になっています.
なので, 上の図では, \(OA=OB=OC\)が成り立っています.
重心
定義 : 
三角形の3本の中線(頂点と向かい合った辺の中点を結ぶ線分)は1点で交わり, その点を三角形の重心という.
重心は, 重さの中心で, 三角形の板の重心を糸でぶら下げると水平に釣り合います.
三角形の重心\(G\)は, 3本の中線を\(2:1\)に内分することが知られています.
上の図では, \(AG : GD = BG : GE = CG : GF = 2 : 1\)です.
垂心
定義 : 
三角形の各頂点から対辺に下ろした垂線は1点で交わり, その点を三角形の垂心という.
内心, 重心, 垂心の存在は, チェバの定理の逆を用いて証明できます.
(—>チェバの定理の逆の利用例)
傍心
定義 :
三角形のある内角の2等分線と, 他の2頂点の外角の2等分線は1点で交わり, その点を三角形の傍心という. 頂点の選び方によって, 傍心は3つ存在する.
三角形\(ABC\)の3つの傍心を\(I, I^\prime, I^{\prime\prime}\)として, 内心を\(I_0\)とすると, \(I_0\)は\(\triangle{II^\prime I^{\prime\prime}}\)の垂心となっている.
三角形の五心がもつ他の性質
1. 正三角形の場合
正三角形においては, 内心, 外心, 重心, 垂心の4つの点はすべて一致します.
また, 三角形の内心, 外心, 重心, 垂心のうち2つ以上が一致するとき, その三角形が正三角形であるといえます.
2. 外心, 重心, 垂心の関係
三角形の形に関係なく, 外心を\(O\), 重心を\(G\), 垂心を\(H\)とすると, この3点\(O, G, H\)は一直線上にあって, 次の式が成り立ちます.
\(OG : GH = 1 : 2\)
