三角形の五心とその性質

この記事の所要時間：約 2分39秒

三角形の五心

三角形には, 内心, 外心, 重心, 垂心, 傍心という5種類の「中心」が存在します.

この記事では, それらの定義と性質を紹介します.

内心

定義 :

三角形の3つの頂点の二等分線は1点で交わり, その点を三角形の内心という.

内心 $I$ は, 三角形の内接円(3つの辺すべてに接する円)の中心になっています.

なので, 上の図では, $IP=IQ=IR$ が成り立っています.

外心

定義 :

三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わり, その点を三角形の外心という.

外心 $O$ は, 三角形の外接円(三角形の3つの頂点すべてを通る円)の中心になっています.

なので, 上の図では, $OA=OB=OC$ が成り立っています.

重心

定義 :

三角形の3本の中線(頂点と向かい合った辺の中点を結ぶ線分)は1点で交わり, その点を三角形の重心という.

重心は, 重さの中心で, 三角形の板の重心を糸でぶら下げると水平に釣り合います.

三角形の重心 $G$ は, 3本の中線を $2:1$ に内分することが知られています.

上の図では, $AG : GD = BG : GE = CG : GF = 2 : 1$ です.

垂心

定義 :

三角形の各頂点から対辺に下ろした垂線は1点で交わり, その点を三角形の垂心という.

内心, 重心, 垂心の存在は, チェバの定理の逆を用いて証明できます.

(—>チェバの定理の逆の利用例)

傍心

定義 :

三角形のある内角の2等分線と, 他の2頂点の外角の2等分線は1点で交わり, その点を三角形の傍心という. 頂点の選び方によって, 傍心は3つ存在する.

三角形 $ABC$ の3つの傍心を $I, I^\prime, I^{\prime\prime}$ として, 内心を $I_0$ とすると, $I_0$ は $\triangle{II^\prime I^{\prime\prime}}$ の垂心となっている.

三角形の五心がもつ他の性質

1. 正三角形の場合

正三角形においては, 内心, 外心, 重心, 垂心の4つの点はすべて一致します.

また, 三角形の内心, 外心, 重心, 垂心のうち2つ以上が一致するとき, その三角形が正三角形であるといえます.

2. 外心, 重心, 垂心の関係

三角形の形に関係なく, 外心を $O$ , 重心を $G$ , 垂心を $H$ とすると, この3点 $O, G, H$ は一直線上にあって, 次の式が成り立ちます.

$OG : GH = 1 : 2$

三角形の五心とその性質

三角形の五心

内心

外心

重心

垂心

傍心

三角形の五心がもつ他の性質

1. 正三角形の場合

2. 外心, 重心, 垂心の関係

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