問題．
今回は, 自作問題の1-(8)，コンビネーションと和の計算の解答，解説です．
問題 :
\(\displaystyle p_n = \sum_{k=0}^n k\cdot{}_nC_k\)
及び，
\(\displaystyle q_n = \sum_{k=n+1}^{2n} {}_kC_n\)
をそれぞれ計算せよ．但し，\(n\)は自然数である.
今回の問題は，コンビネーションの計算において重要なものを集めた形になっています．
\(p_n\) については，まず
\(1\leqq k\leqq n\) のとき
\(k\cdot {}_nC_k = n\cdot {}_{n-1}C_{k-1}\)
という性質(変形)を使います．この等式を示すための変形は下の解答例の中に書いています．
そして, 二項定理
\(\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} {}_nC_k\cdot a^k\cdot b^{n-k}\)
において，\(a=b=1\), \(n\) の部分を \(n-1\) とした式を利用します．
\(q_n\) については，コンビネーションが満たす式
\({}_nC_k = {}_{n-1}C_{k-1}+{}_{n-1}C_{k}\)
を利用します．
解答例．
\(p_n\)について
\(k=0\) のとき \(k\cdot{}_nC_k=0\) なので，\(\displaystyle p_n=\sum_{k=1}^{n} k\cdot{}_nC_k\)
・\(n=1\) のとき
\begin{align*}
p_1=1\cdot {}_1C_1=1
\end{align*}
・\(n\geqq 2\) のとき
\begin{align*}
k\cdot{}_nC_k &= k\cdot\frac{n!}{k!(n-k)!}\\
&= n\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\\
&= n\cdot{}_{n-1}C_{k-1}
\end{align*}
なので，
\begin{align*}
p_n &= \sum_{k=1}^{n} n\cdot{}_{n-1}C_{k-1}\\
&= n\sum_{k=1}^{n} {}_{n-1}C_{k-1}\\
&= n\sum_{k=0}^{n-1} {}_{n-1}C_{k}\\
&= n\cdot 2^{n-1}.
\end{align*}
2行目から3行目は，\(k-1\) を改めて \(k\) とおき直しています．
この式は \(n=1\) のときも成り立つので，\(p_n = n\cdot 2^{n-1}\).
\(q_n\) について
\({}_kC_n + {}_kC_{n+1} = {}_{k+1}C_{n+1}\) が成り立つことから,
\({}_kC_n = {}_{k+1}C_{n+1}-{}_kC_{n+1}\) なので,
\begin{align*}
q_n &= \sum_{k=n+1}^{2n} {}_kC_n\\
&= \sum_{k=n+1}^{2n} ({}_{k+1}C_{n+1}-{}_kC_{n+1})\\
&= {}_{2n+1}C_{n+1}-{}_{n+1}C_{n+1}\\
&= {}_{2n+1}C_{n+1}-1.
\end{align*}
2行目から3行目では別の記事「特殊な形の和の計算」で紹介した形になっています.
