コンビネーションと和の計算(自作問題(8))

この記事の所要時間: 332

問題.

今回は, 自作問題の1-(8),コンビネーションと和の計算の解答,解説です.

問題 :

\(\displaystyle p_n = \sum_{k=0}^n k\cdot{}_nC_k\)

及び,

\(\displaystyle q_n = \sum_{k=n+1}^{2n} {}_kC_n\)

をそれぞれ計算せよ.但し,\(n\)は自然数である.

今回の問題は,コンビネーションの計算において重要なものを集めた形になっています.

\(p_n\) については,まず

\(1\leqq k\leqq n\) のとき

\(k\cdot {}_nC_k = n\cdot {}_{n-1}C_{k-1}\)

という性質(変形)を使います.この等式を示すための変形は下の解答例の中に書いています.

そして, 二項定理

\(\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} {}_nC_k\cdot a^k\cdot b^{n-k}\)

において,\(a=b=1\), \(n\) の部分を \(n-1\) とした式を利用します.

\(q_n\) については,コンビネーションが満たす式

\({}_nC_k = {}_{n-1}C_{k-1}+{}_{n-1}C_{k}\)

を利用します.

解答例.

\(p_n\)について

\(k=0\) のとき \(k\cdot{}_nC_k=0\) なので,\(\displaystyle p_n=\sum_{k=1}^{n} k\cdot{}_nC_k\)

・\(n=1\) のとき

\begin{align*}
p_1=1\cdot {}_1C_1=1
\end{align*}

・\(n\geqq 2\) のとき

\begin{align*}
k\cdot{}_nC_k &= k\cdot\frac{n!}{k!(n-k)!}\\
&= n\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\\
&= n\cdot{}_{n-1}C_{k-1}
\end{align*}

なので,

\begin{align*}
p_n &= \sum_{k=1}^{n} n\cdot{}_{n-1}C_{k-1}\\
&= n\sum_{k=1}^{n} {}_{n-1}C_{k-1}\\
&= n\sum_{k=0}^{n-1} {}_{n-1}C_{k}\\
&= n\cdot 2^{n-1}.
\end{align*}

2行目から3行目は,\(k-1\) を改めて \(k\) とおき直しています.

この式は \(n=1\) のときも成り立つので,\(p_n = n\cdot 2^{n-1}\).

\(q_n\) について

\({}_kC_n + {}_kC_{n+1} = {}_{k+1}C_{n+1}\) が成り立つことから,

\({}_kC_n = {}_{k+1}C_{n+1}-{}_kC_{n+1}\) なので,
\begin{align*}
q_n &= \sum_{k=n+1}^{2n} {}_kC_n\\
&= \sum_{k=n+1}^{2n} ({}_{k+1}C_{n+1}-{}_kC_{n+1})\\
&= {}_{2n+1}C_{n+1}-{}_{n+1}C_{n+1}\\
&= {}_{2n+1}C_{n+1}-1.
\end{align*}

2行目から3行目では別の記事「特殊な形の和の計算」で紹介した形になっています.

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