2項定理の応用2(自作問題1-(9))

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問題.

問題.

\(x^{2n}\)を\((x-2)^n\)で割ったときの商を\(Q(x)\), 余りを\(R(x)\)とする.

\(R(x)\)の最高次の項の係数と, 定数項を求めよ. \(n\)は自然数とする.

整式の割り算の問題. \((x-2)^n\)で割った余りなので, 剰余の定理では処理できません.

そこで,

\(x^{2n}=(x-2)^nQ(x)+R(x)\)

のような形をつくるために,

\(x^{2n}=\{(x-2)+2\}^n\)

と考えて展開します.

解答例.

\begin{align*}
P(x) &= x^{2n}\\
&= \{(x-2)+2\}^{2n}\\
&= \sum_{k=0}^{2n} {}_{2n}C_k\cdot (x-2)^k\cdot 2^{2n-k}\\
&= (x-2)^n \sum_{k=n}^{2n} {}_{2n}C_k\cdot (x-2)^{k-n}\cdot 2^{2n-k} + \sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}C_k\cdot (x-2)^k\cdot 2^{2n-k}
\end{align*}

より,

\begin{align*}
Q(x) &= \sum_{k=n}^{2n} {}_{2n}C_k\cdot (x-2)^{k-n}\cdot 2^{2n-k}\\
R(x) &= \sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}C_k\cdot (x-2)^k\cdot 2^{2n-k}
\end{align*}

\(R(x)\)の最高次の項は\(x^{n-1}\)の項で, \(k=n-1\)のときのみ出てくるので, その係数は

\begin{align*}
{}_{2n}C_{n-1}\cdot 2^{2n-(n-1)} = {}_{2n}C_{n-1}\cdot 2^{n+1}
\end{align*}

次に, \((x-2)^k\)の展開式の定数項は\((-2)^k\)なので, \(R(x)\)の定数項は,

\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}C_k\cdot(-2)^k\cdot 2^{2n-k} &= \sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}C{k}\cdot (-1)^k\cdot 2^{2n}\\
&= 2^{2n}\sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}C_k\cdot (-1)^k
\end{align*}

ここで,

\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}C_k\cdot (-1)^k &= \sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}C_{2n-k} \cdot (-1)^{2n-k} \\
&= \sum_{k=n+1}^{2n} {}_{2n}C_k\cdot (-1)^k
\end{align*}

最後の変形では\(2n-k\)を\(k\)と改めておき直して, 和の順番を逆にしています.

よって,

\begin{align*}
2\sum_{k=0}^{n-1}{}_{2n}C_k\cdot (-1)^k + {}_{2n}C_n\cdot(-1)^n &= \sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}C_k\cdot (-1)^k + {}_{2n}C_n\cdot(-1)^n+\sum_{k=n+1}^{2n}{}_{2n}C_k\cdot(-1)^k\\
&= \sum_{k=0}^{2n}{}_{2n}C_{k}\cdot (-1)^k\\
&= (-1+1)^{2n}\\
&= 0
\end{align*}

となるので,

\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}C_k\cdot(-1)^k = -\frac{1}{2}\cdot {}_{2n}C_n\cdot(-1)^n
\end{align*}

従って, \(R(x)\)の定数項は

\begin{align*}
2^{2n}\times \left\{-\frac{1}{2}\cdot{}_{2n}C_n\cdot(-1)^n\right\} = -\frac{1}{2}\cdot(-4)^n\cdot {}_{2n}C_n
\end{align*}

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