コーシー・シュワルツの不等式

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コーシー・シュワルツの不等式

コーシー・シュワルツ(Cauchy-Schwartz)の不等式

・ $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\geqq (ax+by)^2$

等号は $a:x=b:y$ のときのみ

・ $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq(ax+by+cz)^2$

等号は $a:x=b:y=c:z$ のときのみ

・ $(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\geqq(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n)^2$

等号は $a_1:x_1=a_2:x_2=\cdots=a_n:x_n$ のときのみ

但し, $a, b, c, x, y, z, a_1, \cdots, a_n, x_1, \cdots, x_n$ は実数.

和の記号を使って表すと,

$\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2$

となります.

例題.

問.

$x^2+y^2=1$ を満たすように $x, y$ を変化させるとき, $2x+3y$ の取り得る最大値を求めよ.

このタイプの問題は普通は $2x+3y=k$ とおいて, この式を直線の方程式と見なして, 円 $x^2+y^2=1$ と交点を持つ状態で動かし, 直線の $y$ 切片の最大値を求める, ということをします.

しかし, コーシー・シュワルツの不等式を使えば簡単に解けます.

コーシー・シュワルツの不等式より,

$\begin{equation*} (2^2+3^2)(x^2+y^2)\geqq (2x+3y)^2 \end{equation*}$

ところで, $x^2+y^2=1$ なので上の不等式の左辺は $13$ となり,

$\begin{equation*} 13\geqq(2x+3y)^2 \end{equation*}$

よって,

$\begin{equation*} 2x+3y \leqq \sqrt{13} \end{equation*}$

となり最大値は $\sqrt{13}$ となります.

不等式の証明.

この不等式にはきれいな証明方法があるので, 紹介します.

(この方法以外にも, 帰納法でも証明できます. それは別の記事で紹介します. )

任意の実数 $t$ に対して,

$\begin{equation*} f(t)=\sum_{k=1}^{n}(a_kt+b_k)^2\geqq 0 \end{equation*}$

が成り立つ(実数の2乗は非負).

左辺を展開すると,

$\begin{equation*} \left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)t^2+2\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)t+\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\geqq 0 \end{equation*}$

これが任意の $t$ について成り立つので, $f(t)=0$ の判別式を $D$ とすると, $D/4\leqq 0$ が成り立ち,

$\begin{equation*} \left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)^2-\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\leqq 0 \end{equation*}$

よって,

$\begin{equation*} \left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2 \end{equation*}$

その他の形のコーシー・シュワルツの不等式

コーシー・シュワルツの不等式というと上で紹介したものが有名ですが,実はほかに以下のようなものがあります.

1. (複素数)

$\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n} |\alpha_k|^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}|\beta_k|^2\right)\geqq\left|\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\beta_k\right|^2$

$\alpha_k, \beta_k$ は複素数で, 複素数の絶対値は, $\alpha=a+bi$ のとき $|\alpha|^2=a^2+b^2$ .

2. (定積分)

$\displaystyle \int_a^b \sum_{k=1}^n \left\{f_k(x)\right\}^2dx\cdot\int_a^b\sum_{k=1}^n \left\{g_k(x)\right\}^2dx\geqq\left\{\int_a^b\sum_{k=1}^n f_k(x)g_k(x)dx\right\}^2$

但し, 閉区間[a, b]で $f_k(x), g_k(x)$ は連続かつ非負, また, $a<b$ .

これらも上の証明方法で同様に示すことができます.

コーシー・シュワルツの不等式

コーシー・シュワルツの不等式

例題.

不等式の証明.

その他の形のコーシー・シュワルツの不等式

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