指数

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指数の定義と性質

累乗根

\(n\)は自然数とする. \(n\)乗して(\(n\)回同じものを掛けて)\(a\)になる数を\(a\)の\(n\)乗根といいます.

定義(\(n\)乗根) :

(1) \(n\)が偶数のとき

(i)\(a>0\)であれば, 実数の\(n\)乗根は絶対値の等しいものが正負1つずつ存在し, 正のものを\(\sqrt[n]{a}\), 負のものを\(-\sqrt[n]{a}\)と表す.

(ii) \(a<0\)であれば, 実数の\(n\)乗根は存在しない.

特に, \(n=2\)の場合は\(\sqrt[2]{a}\)を\(\sqrt{a}\)と書く.

(2) \(n\)が奇数のとき

\(a\)の実数の\(n\)乗根は, \(a\)と同符号のものがただ一つ存在し, それを\(\sqrt[n]{a}\)と表す.

(\(\ast\)) 0の\(n\)乗根は, \(n\)にかかわらず0.

このとき, 次の公式が成り立ちます.

累乗根の公式 : \(m, n, p\)は正の整数で, \(a>0\), \(b>0\)とする.

(1) \((\sqrt[n]{a})^n=a\) ,      \((\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}\)

\(\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}\),     \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}\)

(2) \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\),    \(\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)

例.

  • \(\sqrt[6]{64}=2\)
  • \(\sqrt[5]{-32}=-2\)
  • \(\sqrt{27}\times\sqrt[4]{9}=\sqrt{27}\times\sqrt{3}=\sqrt{81}=9\)

指数の拡張1(有理数範囲)

指数の拡張

\(a\)を実数, \(m, n\)を正の整数とするとき, 次のように定義します.

(1) \(a^0=1\) (\(a\neq 0\)),    \(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

(2) \(\displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\),

\(\displaystyle a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}\)

但し, \(n\)が奇数で\(m\)が偶数のときは\(a>0\)とします.

指数法則

指数について, 次の法則が成り立ちます.

指数法則 : \(a, b\)を正の数, \(m, n\)を有理数とするとき,

(1) \(a^s\times a^t=a^{s+t}\),   \(a^s\div a^t=a^{s-t}\),   \((a^s)^t=a^{st}\)

(2) \((ab)^t=a^tb^t\),     \(\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^t=\frac{a^t}{b^t}\)

指数の拡張2(実数範囲)

\(a^x\)の\(x\)が無理数の場合については, 各項が有理数で, \(x\)に収束する数列\(\{x_n\}\)を考えて, \(a^{x_n}\)が収束する値を\(a^x\)とします.     (*注1)

例えば, \(a^{\sqrt{2}}\)の場合, \(\sqrt{2}\)に収束する数列\(1, 1.4, 1.41, 1.414, \ldots\)を用いて, \(a^1, a^{1.4}, a^{1.41}, a^{1.414}, \ldots\)を考え, この数列の収束する値を\(a^{\sqrt{2}}\)とします.

このように定義することで, 指数法則は\(s\)や\(t\)が実数の範囲でも成り立ちます.

例.

  • \(\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=\{a(a\cdot a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\}^{\frac{1}{2}}=\{a(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}}\}^{\frac{1}{2}}=(a\cdot a^{\frac{3}{4}})^{\frac{1}{2}}=(a^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{7}{8}}\)
  • \(\{(\sqrt{3})^{\sqrt{2}}\}^{\sqrt{2}}=(\sqrt{3})^{(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})}=(\sqrt{3})^2=3\)

(*注1) 任意の無理数\(x\)に対して, \(x\)に収束する有理数の数列が存在すること, また, 数列\(\{x_n\}\)の取り方にかかわらず\(\{a^{x_n}\}\)が同じ値に収束することが知られています.

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