対数

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対数の定義と性質

対数の定義

\(a^m=M\) (\(a>0\), \(a\neq 1\))のとき, 指数\(m\)を, \(a\)をとする\(M\)の対数といい,

\(m=\log_a{M}\)と書く. このとき, \(M\)を真数といい, 真数は常に正である.

特に, 対数の底\(a\)が10のとき\(log_{10}{M}\)を常用対数という.

また, 底\(a\)が\(\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)のとき\(\log_e{M}\)を自然対数といい, このとき底を省略して\(\log{M}\)と書くことがある. また, この\(e\)を自然対数の底という.                                          (*注1)

(*注1) 物理学の分野では, 自然対数よりも常用対数をよく用いるために, 常用対数の底を省略することもあります.

対数の基本性質

\(a>0\), \(a\neq 1\), \(M, N>0\)とする.

(1) \(\log_a{a}=1\),    \(\log_a{1}=0\)

(2) \(\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}\)

(3) \(\log_a{\frac{M}{N}}=\log_a{M}-\log_a{N}\),   \(\log_a{\frac{1}{M}}=-\log_a{M}\)

(4) \(\log_a{M^p}=p\log_a{M}\),     \(\log_a{\sqrt[n]{M^m}}=\frac{m}{n}\log_a{M}\)

(5) (底の変換公式)

\(b>0\), \(b\neq 1\)として,

\(\displaystyle \log_a{M}=\frac{\log_b{M}}{\log_b{a}}\)

\(\displaystyle \log_b{a}=\frac{1}{\log_a{b}}\)

(6) \(a^{\log_a{M}}=M\)

(証明)

\(\log_a{M}=m\), \(\log_a{N}=n\)とおくと, \(M=a^m\), \(N=a^n\).

(1) \(a^1=a\), \(a^0=1\)より.

(2) \(MN=a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)より\(\log_a{MN}=m+n=\log_a{M}+\log_a{N}\)

(3) 同様.

(4) \(M^p=(a^m)^p=a^{pm}\)より, \(\log_a{M^p}=pm=p\log_a{M}\).

(5) \(\log_b{M}=\log_b{a^m}=m\log_b{a}\)より, \(\displaystyle \log_a{M}=m=\frac{\log_b{M}}{\log_b{a}}\)

(6)\(M=a^m=a^{\log_a{M}}\)

例1.

  • \(\log_{\sqrt{2}}8=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{2})^6=6\)
  • \(5^{3\log_5{2}}=5^{\log_5{2^3}}=2^3=8\)
  • \(\displaystyle \log_4{5}\cdot\log_5{2}=\log_4{5}\cdot\log_5{4^{\frac{1}{2}}}=\log_4{5}\cdot\frac{1}{2}\log_5{4}=\frac{1}{2}\)

例2.

問. \(\log_{10}{2}=0.3010\), \(\log_{10}{3}=0.4771\)とするとき, \(\log_{10}{15}\)を求めよ.

解答.

\begin{align*}
\log_{10}{15} &= \log_{10}{\frac{3\cdot 10}{2}}\\
&= \log_{10}{3}+\log_{10}{10}-\log_{10}{2}\\
&= 0.4771 + 1 – 0.3010\\
&= 1.1761
\end{align*}

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