指数関数, 対数関数

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指数関数, 対数関数

指数関数

\(y=a^x\), (\(a>0, a\neq 1\)) を, \(a\) を底とする \(x\) の指数関数といいます.

常に \(y>0\) が成り立ち,

(1) \(a>1\) のとき単調増加関数

(2) \(0<a<1\) のとき単調減少関数

指数関数のグラフ

指数関数のグラフには次の性質があります.

(1) 点 \((0, 1)\) を通る.

(2) \(x\) 軸の上側にあり, \(x\) 軸が漸近線となっている.

(3) \(y=a^x\) のグラフと \(\displaystyle y=\left(\frac{1}{a}\right)^x\) のグラフは \(y\) 軸に対して対称である.

exponent_1plus

\(a>1\)

exponent_1minus

\(0<a<1\)

(1) は \(a^0=1\) から明らか.

(2) は, \(a>1\) のとき \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}a^x=0\),

\(0<a<1\) のとき \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}a^x=0\)

であることを表しています.

(3) は, \(\displaystyle \left(\frac{1}{a}\right)^x=a^{-x}\) であることから分かります.

対数関数

指数関数 \(y=a^x\), (\(a>0, a\neq 1\)) の逆関数 \(y=\log_{a}{x}\) を \(a\) を底とする対数関数といいます. 定義域は \(x>0\) で,

(1) \(a>1\) のとき単調増加関数

(2) \(0<a<1\) のとき単調減少関数

対数関数のグラフ

対数関数 \(y=\log_{a}{x}\) のグラフは, 指数関数 \(y=a^x\) のグラフと直線 \(y=x\) に関して対称で,

(1) 点 \((1, 0)\) を通る.

(2) \(y\) 軸の右側にあり, \(y\) 軸が漸近線となっている.

(3) \(y=\log_{a}{x}\) のグラフと \(\displaystyle y=\log_{\frac{1}{a}}{x}\) のグラフは \(x\) 軸に関して対称

logarithm_1plus

\(a>1\)

logarithm_1minus

\(0<a<1\)

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