指数関数, 対数関数
指数関数
\(y=a^x\), (\(a>0, a\neq 1\)) を, \(a\) を底とする \(x\) の指数関数といいます.
常に \(y>0\) が成り立ち,
(1) \(a>1\) のとき単調増加関数
(2) \(0<a<1\) のとき単調減少関数
指数関数のグラフ
指数関数のグラフには次の性質があります.
(1) 点 \((0, 1)\) を通る.
(2) \(x\) 軸の上側にあり, \(x\) 軸が漸近線となっている.
(3) \(y=a^x\) のグラフと \(\displaystyle y=\left(\frac{1}{a}\right)^x\) のグラフは \(y\) 軸に対して対称である.
(1) は \(a^0=1\) から明らか.
(2) は, \(a>1\) のとき \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}a^x=0\),
\(0<a<1\) のとき \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}a^x=0\)
であることを表しています.
(3) は, \(\displaystyle \left(\frac{1}{a}\right)^x=a^{-x}\) であることから分かります.
対数関数
指数関数 \(y=a^x\), (\(a>0, a\neq 1\)) の逆関数 \(y=\log_{a}{x}\) を \(a\) を底とする対数関数といいます. 定義域は \(x>0\) で,
(1) \(a>1\) のとき単調増加関数
(2) \(0<a<1\) のとき単調減少関数
対数関数のグラフ
対数関数 \(y=\log_{a}{x}\) のグラフは, 指数関数 \(y=a^x\) のグラフと直線 \(y=x\) に関して対称で,
(1) 点 \((1, 0)\) を通る.
(2) \(y\) 軸の右側にあり, \(y\) 軸が漸近線となっている.
(3) \(y=\log_{a}{x}\) のグラフと \(\displaystyle y=\log_{\frac{1}{a}}{x}\) のグラフは \(x\) 軸に関して対称