指数方程式, 指数不等式

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指数方程式・指数不等式

指数方程式

指数方程式とは, 次に示すような変数\(x\)が指数部分に含まれる方程式です.

\begin{align*}
2^{2x+1}-9\cdot 2^x+4=0
\end{align*}

このような場合, 次の手順で解きます.

  1. 指数部分(今回の場合\(2^x\))を\(y\)とおく.
  2. 方程式を\(y\)についての方程式に直す.
  3. \(y\)について解く.
  4. \(y=2^x\)から, \(x=\log_2{y}\)として解を求める.

今回の場合, \(y=2^x\)とおくと, 方程式は

\begin{align*}
2y^2-9y+4&= 0\\
(2y-1)(y-4)&= 0
\end{align*}

となり, \(\displaystyle y=\frac{1}{2}, 4\).

\(x\)に戻すと, \(\displaystyle 2^x=\frac{1}{2}, 4\)より, \(x=-1, 2\)となります.

指数不等式

指数不等式は,

\begin{align*}
2^{2x+1}-9\cdot 2^x+4\geqq 0
\end{align*}

のように, 不等式の指数部分に変数\(x\)が含まれるものをいいます.

この場合も指数方程式の場合と同じように, \(y=2^x\)とおいて解きます.

但し, 次のことだけ注意が必要です.

(1) \(a>1\)のとき,     \(a^\alpha>b^\beta\Longleftrightarrow \alpha>\beta\)

(2) \(0<a<1\)のとき, \(a^\alpha>b^\beta\Longleftrightarrow \alpha<\beta\)

底の部分が1より小さい場合は不等号の向きが逆になります.

上の例では, 左辺は指数方程式の例と同じなので, 因数分解して不等式を解くと,

\begin{align*}
(2y-1)(y-4)\geqq 0\\
y\leqq \frac{1}{2},\,4\leqq y\\
\therefore 2^x\leqq\frac{1}{2}=2^{-1},\, 2^2=4\leqq 2^x
\end{align*}

((底)\(=2>1\)なので),

\begin{align*}
x\leqq -1, 2\leqq x
\end{align*}

となります.

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