区分求積法を利用する問題(自作問題3)

この記事の所要時間: 446

問題.

今回は自作問題の3, 区分求積法を利用する問題です.

問題. 

\(m\)を自然数とする. 以下の問いに答えよ.

(1) \(\displaystyle \int_{0}^{1} x^mdx\)を計算せよ.

(2) 自然数\(n\)に対して, \(\displaystyle Sn=\sum^n_{k=1} k^m\)とおくとき, 全ての\(n\)に対して\(\displaystyle S_n=\sum^{m+1}_{i=1} a_{(m,i)}\cdot n^i\)が成り立つような実数\(a_{(m,i)}\ (i=1,2,\ldots,m+1)\)が存在することが分かっている. このとき\(\displaystyle a_{(m,m+1)}=\frac{1}{m+1}\)を区分求積法を用いて示せ.

(1) は一応(2)への誘導となっています.

(2) は分かりにくいかもしれませんが, Faulhaberの公式(べき乗和の公式)のことを言っています.

\begin{align*}
\sum_{k=1}^n k &= \frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n\\
\sum_{k=1}^n k^2 &= \frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n\\
\sum_{k=1}^n k^3 &= \frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2
\end{align*}

\(k^m\)の和の公式の右辺の\(n^i\)の係数が\(a_{(m, i)}\)なので, 例えば上に挙げた例では

\(a_{(1, 1)}=\dfrac{1}{2}\quad a_{(1, 2)}=\dfrac{1}{2}\)

\(a_{(2, 1)}=\dfrac{1}{6}\quad a_{(2, 2)}=\dfrac{1}{2}\quad a_{(2, 3)}=\dfrac{1}{3}\)

\(a_{(3, 1)}=0\quad a_{(3, 2)}=\dfrac{1}{4}\quad a_{(3, 3)}=\dfrac{1}{2}\quad a_{(3, 4)}=\dfrac{1}{4}\)

となります. このときに, \(a_{(m, m+1)}=\dfrac{1}{m+1}\)は確かに成り立っています.

また, 区分求積法は, 次の公式です.

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)dx
\end{align*}

解答例.

(1) 普通に定積分を計算します.

\begin{align*}
\int_0^1 x^m dx &= \Big[\frac{1}{m+1}x^{m+1}\Big]_0^1\\
&= \frac{1}{m+1}
\end{align*}

(2)

\begin{align*}
S_n = \sum_{k=1}^{n} k^m = \sum_{i=1}^{m+1} a_{(m, i)}\cdot n^i
\end{align*}

なので, 区分求積法を考えて,

\begin{align*}
\int_{0}^{1} x^m dx &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^m\\
&= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{m+1}\sum_{k=1}^{n} k^m\\
&= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{m+1}\sum_{i=1}^{m+1}a_{(m, i)}\cdot n^i\\
&= \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{m+1} a_{(m, i)}\cdot n^{i-m-1}
\end{align*}

ここで,

\(1\leqq i\leqq m\)のとき\(i-m-1\leqq -1\)より, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n^{i-m-1}=0\)

\(i=m+1\)のとき\(i-m-1=0\)より, \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{i-m-1}=1\).

なので,

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{m+1} a_{(m, i)}\cdot n^{i-m-1} = a_{(m, m+1)}
\end{align*}

故に,

\begin{align*}
\int_{0}^{1} x^m dx = a_{(m, m+1)}
\end{align*}

従って, \(\displaystyle a_{(m, m+1)}=\frac{1}{m+1}\).

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