数列の極限

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数列の極限

数列の極限の例はこちら.

定義

数列\(\{a_n\}\)について, \(n\)を限りなく大きくするとき,

(i) \(a_n\)が一定の値\(\alpha\)に限りなく近づくとき(*), \(\{a_n\}\)は\(\alpha\)に収束するといい,

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha
\end{align*}

または,

\(n\to\infty\) のとき\(a_n\to\alpha\)

と書く. また, \(\alpha\)を数列\(\{a_n\}\)の極限(値)という.

(ii) \(a_n\)が限りなく大きくなるとき(**), \(\{a_n\}\)は\(\infty\)(正の無限大)に発散するといい, 

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}a_n=\infty
\end{align*}

または

\(n\to\infty\) のとき\(a_n\to\infty\)

と書く.

(iii) 数列\(\{-a_n\}\)が\(\infty\)に発散するとき, \(\{a_n\}\)は\(-\infty\)(負の無限大)に発散するといい,

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty
\end{align*}

または

\(n\to\infty\) のとき\(a_n\to-\infty\)

と書く.

(iv) \(\{a_n\}\)が収束せず, \(\infty, -\infty\)に発散もしない場合, \(\{a_n\}\)は振動するという.

注意

(*). 厳密には, 「どんな正の数\(\varepsilon\)に対してもある自然数\(N\)が存在して, \(n\geqq N\Rightarrow |a_n-\alpha|<\varepsilon\)が成り立つ」とき.

(**). 厳密には, 「どんな正の数\(k\)に対してもある自然数\(N\)が存在して, \(n\geqq N\Rightarrow a_n>k\)が成り立つ」とき.

例.

\(k>0\)のとき,

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}n^k&= \infty\\
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}&= 0
\end{align*}

数列の極限の性質

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha, \lim_{n\to\infty}b_n=\beta\,\)(収束)とするとき,

(i) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\alpha\pm\beta\)

(ii) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (ka_n)=k\alpha\), (\(k\):定数)

(iii) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_nb_n)=\alpha\beta\)

(iv) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=\dfrac{\beta}{\alpha}\), (\(a_n\neq 0, \alpha\neq 0\))

また, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=\pm\infty\)のとき,

(v) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{c_n}=0\)

注意.

上の(v)のように, (定数)/\(\infty=0\) や, (正の定数)\(/0=\infty\), (定数)\(+\infty=\infty\)  などが成り立ちますが, \(\infty /\infty\) や \(0/0\), \(0\times\infty\), \(\infty -\infty\) のような形式の極限は一般に「不定形」と呼ばれ, その値は場合によって異なります.

(\(\infty\)は数を表す記号ではないので, \(\infty+\infty\)のような式を書いてはいけません. ここでは説明のために形式的にそのような表記をしています. )

また, 非常によく使う定理として, 以下のはさみうちの原理があります.

数列\(\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}\)について,

(i) \(a_n\leqq b_n\)のとき, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}=\alpha, \lim_{n\to\infty}b_n=\beta\)(収束)とすると, \(\alpha\leqq\beta\)

(ii) \(a_n\leqq b_n\)のとき, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}=\infty\)(発散)とすると, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\)

(iii) \(a_n\leqq c_n\leqq b_n\)のとき, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha\)(収束)とすると, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha\)

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