数列の極限の例

数列の極限の例

数列の極限の定義と, その性質(はさみうちの原理など)を紹介した記事はこちら.

—>数列の極限

この記事では, 数列の極限の実際の例を見ていきます.

基本となる極限

(1) \(n\)の累乗

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} n^k=\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty &(k>0)\\
1&(k = 0)\\
0 & (k < 0)
\end{array}\right.
\end{align*}

(2) 実数の\(n\)乗

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}r^n =\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & (r > 1)\\
1 & (r = 1)\\
0 & (-1<r<1)
\end{array}\right.
\end{align*}

\(r\leqq -1\)のときは振動する.

不定形の極限.

(1) (\(\infty/\infty\))

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n+1}{2n^2-3n+1}&= \lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{2-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}\\
&= \frac{1}{2}
\end{align*}

(2) (\(\infty/\infty\))

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} \frac{n^2+7}{3n-5} &= \lim_{n\to\infty}\frac{n+\frac{7}{n}}{3-\frac{5}{n}}\\
&= \infty
\end{align*}

(3) (\(\infty-\infty\))

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} (n^2-n) &= \lim_{n\to\infty} n(n-1)\\
&= \infty
\end{align*}

(4) (\(\infty-\infty\))

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+9n}-n) &= \lim_{n\to\infty}\frac{(n^2+9n)-n^2}{\sqrt{n^2+9n}+n}\\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{9}{\sqrt{1+\frac{9}{n}}+1}\\
&= \frac{9}{2}
\end{align*}

(5)

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\frac{5^n+2^n}{5^n-2^n}&= \lim_{n\to\infty}\frac{1+\left(\frac{2}{5}\right)^n}{1-\left(\frac{2}{5}\right)^n}\\
&= 1
\end{align*}