数列の極限の例

この記事の所要時間：約 3分14秒

数列の極限の例

数列の極限の定義と, その性質(はさみうちの原理など)を紹介した記事はこちら.

この記事では, 数列の極限の実際の例を見ていきます.

基本となる極限

(1) $n$ の累乗

$\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} n^k=\left\{ \begin{array}{ll} +\infty &(k>0)\\ 1&(k = 0)\\ 0 & (k < 0) \end{array}\right. \end{equation*}$

(2) 実数の $n$ 乗

$\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}r^n =\left\{ \begin{array}{ll}{ +\infty & (r > 1)\\ 1 & (r = 1)\\ 0 & (-1<r<1) \end{array}\right. \end{equation*}$

$r\leqq -1$ のときは振動する.

不定形の極限.

(1) ( $\infty/\infty$ )

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n+1}{2n^2-3n+1}&=&\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{2-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}\\ &=&\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

(2) ( $\infty/\infty$ )

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{n^2+7}{3n-5} &=& \lim_{n\to\infty}\frac{n+\frac{7}{n}}{3-\frac{5}{n}}\\ &=& \infty \end{eqnarray*}$

(3) ( $\infty-\infty$ )

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} (n^2-n) &=& \lim_{n\to\infty} n(n-1)\\ &=& \infty \end{eqnarray*}$

(4) ( $\infty-\infty$ )

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+9n}-n) &=& \lim_{n\to\infty}\frac{(n^2+9n)-n^2}{\sqrt{n^2+9n}+n}\\ &=& \lim_{n\to\infty} \frac{9}{\sqrt{1+\frac{9}{n}}+1}\\ &=& \frac{9}{2} \end{eqnarray*}$

(5)

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{5^n+2^n}{5^n-2^n}&=&\lim_{n\to\infty}\frac{1+\left(\frac{2}{5}\right)^n}{1-\left(\frac{2}{5}\right)^n}\\ &=& 1 \end{eqnarray*}$

数列の極限の例

数列の極限の例

基本となる極限

不定形の極限.

共有:

関連

関連記事

数列の極限