無限級数

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無限級数

定義

数列\(\{a_n\}\)に対して,

\begin{align*}
\sum_{k=1}^\infty a_k
\end{align*}

無限級数という.

数列の\(n\)項目までの和

\begin{align*}
S_n = \sum_{k=1}^n a_n
\end{align*}

について, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n\)が\(S\)に収束するとき, 無限級数は\(S\)に収束し,

\begin{align*}
\sum_{k=1}^\infty a_k = S
\end{align*}

と表す. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n\)が発散するとき, 無限級数は発散する.

無限級数に関する定理

2つの無限級数\(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_n, \sum_{k=1}^\infty b_n\)がそれぞれ\(A, B\)に収束するとき,

(1). \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty ca_n = cA\), (\(c\):定数)

(2). \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty (a_n\pm b_n)=A\pm B\)

無限等比級数

初項\(a\), 公比\(r\)の無限等比級数

\begin{align*}
\sum_{k=1}^\infty ra^{n-1} = a + ar + ar^2+\cdots
\end{align*}

(1) \(|r|<1\)のとき収束し, 和は\(S=\dfrac{a}{1-r}\)

(2) \(|r|\geqq 1\)のとき発散する

(証明).

等比数列の\(n\)項目までの和は

\begin{align*}
S_n &= a+ar+\cdots+ar^{n-1}\\
&= a\frac{1-r^n}{1-r}
\end{align*}

なので\(|r|<1\)のとき\(\dfrac{1}{1-r}\)に収束する.

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