無限級数

2016/8/25 2016/8/27 定義・定理・公式など

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無限級数

定義

数列 $\{a_n\}$ に対して,

$\begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty a_k \end{equation*}$

を無限級数という.

数列の $n$ 項目までの和

$\begin{equation*} S_n = \sum_{k=1}^n a_n \end{equation*}$

について, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$ が $S$ に収束するとき, 無限級数は $S$ に収束し,

$\begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty a_k = S \end{equation*}$

と表す. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$ が発散するとき, 無限級数は発散する.

無限級数に関する定理

2つの無限級数 $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_n, \sum_{k=1}^\infty b_n$ がそれぞれ $A, B$ に収束するとき,

(1). $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty ca_n = cA$ , ( $c$ :定数)

(2). $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty (a_n\pm b_n)=A\pm B$

無限等比級数

初項 $a$ , 公比 $r$ の無限等比級数

$\begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty ra^{n-1} = a + ar + ar^2+\cdots \end{equation*}$

は

(1) $|r|<1$ のとき収束し, 和は $S=\dfrac{a}{1-r}$

(2) $|r|\geqq 1$ のとき発散する

(証明).

等比数列の $n$ 項目までの和は

$\begin{eqnarray*} S_n &=& a+ar+\cdots+ar^{n-1}\\ &=& a\frac{1-r^n}{1-r} \end{eqnarray*}$

なので $|r|<1$ のとき $\dfrac{1}{1-r}$ に収束する.

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