無限級数
定義
数列\(\{a_n\}\)に対して,
\begin{align*}
\sum_{k=1}^\infty a_k
\end{align*}
を無限級数という.
数列の\(n\)項目までの和
\begin{align*}
S_n = \sum_{k=1}^n a_n
\end{align*}
について, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n\)が\(S\)に収束するとき, 無限級数は\(S\)に収束し,
\begin{align*}
\sum_{k=1}^\infty a_k = S
\end{align*}
と表す. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n\)が発散するとき, 無限級数は発散する.
無限級数に関する定理
2つの無限級数\(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_n, \sum_{k=1}^\infty b_n\)がそれぞれ\(A, B\)に収束するとき,
(1). \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty ca_n = cA\), (\(c\):定数)
(2). \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty (a_n\pm b_n)=A\pm B\)
無限等比級数
初項\(a\), 公比\(r\)の無限等比級数
\begin{align*}
\sum_{k=1}^\infty ra^{n-1} = a + ar + ar^2+\cdots
\end{align*}
は
(1) \(|r|<1\)のとき収束し, 和は\(S=\dfrac{a}{1-r}\)
(2) \(|r|\geqq 1\)のとき発散する
(証明).
等比数列の\(n\)項目までの和は
\begin{align*}
S_n &= a+ar+\cdots+ar^{n-1}\\
&= a\frac{1-r^n}{1-r}
\end{align*}
なので\(|r|<1\)のとき\(\dfrac{1}{1-r}\)に収束する.
