無限級数の問題例

この記事の所要時間: 450

無限級数の問題例

無限級数

\begin{align*}
\sum_{k=1}^\infty a_n
\end{align*}

が収束する値を求める問題の例を紹介します.

1. 無限等比級数

数列\(a_n\)が初項\(a\neq 0\), 公比\(r\)の等比数列の場合,

1 . \(|r|<1\)のとき収束し, \begin{align*}\sum_{k=1}^n ar^{k-1}=\dfrac{a}{1-r} \end{align*}
2 . \(|r|\geqq 1\)のとき発散する.
(\(r\leqq -1\)のときは振動,
初項\(a>0\)で\(r\geqq 1\)なら\(\infty\)に発散,
\(a<0\)で\(r\geqq 1\)なら\(-\infty\)に発散)

例1.

初項\(2\), 公比\(-\dfrac{1}{2}\)の無限等比級数の場合, 収束して,
\begin{align*}
\sum_{k=1}^\infty 2\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^k &= \dfrac{2}{1-(-\frac{1}{2})}\\
&= \dfrac{4}{3}
\end{align*}

例2.

初項\(3\), 公比\(2\)の無限等比級数の場合, (公比)\(\geqq 1\)より発散
\begin{align*}
\sum_{k=1}^\infty 3\cdot2^{k-1} = \infty
\end{align*}

例3. 循環小数

循環小数
\(x=0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123123\cdots\)
は,
\begin{align*}
x &= \frac{123}{1000}+\frac{123}{1000^2}+\frac{123}{1000^3}\cdots\\
&= \frac{123}{1000}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{1000}}\\
&= \frac{123}{999}\\
&= \frac{41}{333}
\end{align*}

2. 等差数列と等比数列の積

初項\(a\), 公差\(d\)の等差数列\(\{a_n\}\)と
初項\(b\), 公比\(r\)の等比数列\(\{b_n\}\) の積
\begin{align*}
c_n&= a_nb_n\\
&= (a+(n-1)d)\cdot br^{n-1}
\end{align*}
について,
\begin{align*}
S_n = \sum_{k=1}^n c_k
\end{align*}
とおくと,
\begin{align}
S_n &= ab + (a+d)br +  \cdots + (a+(n-1)d)br^{n-1}\\
rS_n &=      abr + \cdots + (a+(n-2)d)br^{n-1} +(a+(n-1)d)br^n
\end{align}
(1)-(2)をして
\begin{align*}
(1-r)S_n &= ab + dbr + \cdots+dbr^{n-1}-(a+(n-1)d)br^n\\
&= ab+dbr\dfrac{1-r^{n-1}}{1-r}-(a+(n-1)d)br^n
\end{align*}
となるので, \(|r|<1\)のとき\(S_n\)は収束します.

下の具体的な例を見た方が分かりやすいです.

例4.

\begin{align*}
S = 1 + \frac{2}{5} + \frac{3}{25} + \frac{4}{125}+\cdots
\end{align*}
とするとき,
\begin{align*}
\frac{1}{5}S = \frac{1}{5} + \frac{2}{25} + \frac{3}{125} + \cdots
\end{align*}
を元の\(S\)の式から引いて,
\begin{align*}
\frac{4}{5}S &= 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25}+ \frac{1}{125} + \cdots\\
&= \frac{1}{1-\frac{1}{5}}\\
&= \frac{5}{4}
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
S = \frac{25}{16}
\end{align*}

3. 部分分数分解できる場合

各項\(a_n\)を部分分数分解することで, \(n\)項目までの和\(S_n\)を求めることができる場合がある.

例5.

\begin{align*}
S_n &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{4k^2-1}\\
&= \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)\\
&= \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\\
&\to\frac{1}{2}\quad(n\to\infty)
\end{align*}

スポンサーリンク
sub2
sub2
  • このエントリーをはてなブックマークに追加