整数の問題(自作問題2)

この記事の所要時間: 324

問題.

自作問題集の2番, 整数の問題です.

問題. 

\(n^2+2\) が \(2n+1\) の倍数となるような自然数 \(n\) を全て求めよ.

与えられた条件から, 自然数\(n\)についての条件を狭めていきます.

下の解答例以外にも解き方はあるかもしれません.

解答例.

\(n^2+2\)が\(2n+1\)の倍数のとき, \(n^2+2=k(2n+1)\), (\(k\)は自然数)とおける.

\begin{align}
n^2-2kn+2-k=0
\end{align}

\(n\)について解いて,

\begin{align*}
n &= k\pm \sqrt{k^2-(2-k)}\\
&= k\pm\sqrt{k^2+k-2}
\end{align*}

\(n\), \(k\)は自然数より\(\sqrt{k^2+k-2}\)も整数なので, \(\sqrt{k^2+k-2}=m\)(\(m\):非負整数)とおくと,

\begin{align}
k^2+k-(2+m^2) = 0
\end{align}

これを\(k\)について解いて,

\begin{align*}
k &= \frac{1}{2}\{-1\pm\sqrt{1+4(2+m^2)}\}\\
&= \frac{1}{2}\{-1\pm\sqrt{4m^2+9}\}
\end{align*}

\begin{align*}
\therefore 2k = -1\pm\sqrt{4m^2+9}
\end{align*}

\(k\)が自然数より, \(\sqrt{4m^2+9}\)は整数で, \(\sqrt{4m^2+9}=l\)(\(l\):非負整数)とおくと,

\begin{align*}
4m^2+9&= l^2\\
l^2-4m^2&= 9\\
(l+2m)(l-2m)&= 9
\end{align*}

\(l\), \(m\):非負整数より, \(l\pm 2m\)は整数で, \(l+2m\geqq 0\), \(l+2m\geqq l-2m\).

よって, \((l+2m, l-2m)=(9, 1), (3, 3)\)より\((l, m)=(5, 2), (3, 0)\).

・\((l, m)=(5, 2)\)のとき

(2)より

\begin{align*}
k^2+k-6&= 0\\
(k+3)(k-2) &= 0
\end{align*}

\(k\)は自然数より\(k=2\)となり, (1)より

\begin{align*}
n^2-4n&= 0\\
n(n-4) &= 0
\end{align*}

\(n\)は自然数より, \(n=4\).

・\((l, m)=(3, 0)\)のとき

(2)より

\begin{align*}
k^2+k-2&= 0\\
(k+2)(k-1) &= 0
\end{align*}

\(k\)は自然数より\(k=1\)となり, (1)より

\begin{align*}
n^2-2n+1&= 0\\
(n-1)^2 &= 0
\end{align*}

\(n\)は自然数より, \(n=1\).

以上より, \(n=1, 4\).

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