関数の極限

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関数の極限

数列に極限があるように, 関数\(f(x)\)に対しても極限というものがあります.

数列\(\{a_n\}\)の極限は\(n\to\infty\)の場合のみを考えましたが, 関数の場合は以下の種類があります.

  1. \(x\to\infty\), および\(x\to-\infty\) の極限
  2. \(x\to a\)  (\(a\)は定数) の極限
  3. 右側, 左側極限 (\(x\to a\pm0\))

それぞれについて詳しく説明していきます.

1. x →∞, x→-∞ の極限

\(x\to\infty\)の極限は, 数列の極限と同様に, \(x\)を限りなく大きくしたとき, 関数\(f(x)\)のとる値が\(\alpha\)に近づくとき,

\begin{align*}
\lim_{x\to\infty}f(x) = \alpha
\end{align*}

と書きます.

同じように考えて, \(x\)を限りなく小さくしたとき\(f(x)\)の値が\(\alpha^\prime\)に近づくとき

\begin{align*}
\lim_{x\to -\infty}f(x)=\alpha^\prime
\end{align*}

と書きます.  (\(-\infty\)は負の無限大と読みます. )

負の無限大の極限は, 関数\(f(-x)\)  (\(f(x)\)に含まれる\(x\)を\(-x\)にしたもの)の\(x\to\infty\)の極限と考えると分かりやすくなります. つまり,

\begin{align*}
\lim_{x\to-\infty}f(x) = \lim_{x\to\infty} f(-x)
\end{align*}

が成り立ちます.

例.

(1) \(f(x) = \frac{1}{x^2}\)

\(\displaystyle\lim_{x\to\infty} \dfrac{1}{x^2} = \lim_{x\to-\infty} \dfrac{1}{x^2} = 0\)

(2) \(f(x)=3^x\)

\(\displaystyle\lim_{x\to\infty} 3^x = \infty\)

\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}3^x = 0\)

2. x→a の極限

\(x\)を\(a\) (何らかの定数) に十分近づけるとき, \(f(x)\)の値が \(\alpha\)に近づくとき,

\begin{align*}
\lim_{x\to a} f(x) = \alpha
\end{align*}

と書きます.

基本的には,

\begin{align*}
\lim_{x\to a}f(x) = f(a)
\end{align*}

のように\(f(x)\)に\(x=a\)を代入したものと考えてかまいませんが, 以下のような例外もあります.

例外.

(1) \(f(x)\)が\(x=a\)で定義されていないとき

(x2-9)(x-3)

例えば, \(f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}\) は \(x=3\)のとき 分母がゼロになるので, 定義域が\(x\neq 3\)です. つまり, \(f(3)\)という値は存在しません.

さて, \(f(x)\)の分子を因数分解すると\((x+3)(x-3)\)となり, 分母と約分でき,

\begin{align*}
f(x) = x+3\,(x\neq 3)
\end{align*}

と表すことができます. 極限の考え方は, あくまで\(x\)を3に近づけることなので,

\begin{align*}
\lim_{x\to 3}f(x)  &= \lim_{x\to 3}(x+3) \\
&= 6
\end{align*}

となります.

(右の図は\(y=\dfrac{x^2-9}{x-3}\)のグラフ. \(x=3\)では定義されていないので◦になっていますが, \(x=3\)に左右から近づくと\(f(x)\)の値は6に近づきます. )

(2)  これは(1)に似ていますが, 先ほどの\(f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}\)において連続でなかった\(x=3\)で6でない別の値を\(f(x)\)が取る場合があります.

\begin{align*}
f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
\dfrac{x^2-9}{x-3} & (x\neq 3)\\
0 & (x = 3)
\end{array}\right.
\end{align*}

という関数が与えられたとき, \(x\to 3\)の極限は, (1) と同じ6になり, \(f(3)=0\)にはなりません.

右側, 左側極限(x→a±0)

\(x\to a\)の極限について, \(x\)を\(a\)に十分近づける, と説明しましたが, 近づけ方には二通りあります.

  1. \(x>a\)の方向から近づける
  2. \(x<a\)の方向から近づける

例えば, \(x\to 3\)の極限を考えるとき,

\(x=10\)から\(x=9, 8, \ldots, 4, 3.5, 3.1, \ldots\)と近づけていく場合が1. にあたり,

\(x=0\)から\(x=1, 2, 2.1, \ldots, 2.5, 2.6, \ldots\)と近づけていく場合が2. にあたります.

hurenzoku

右のように, \(x=a\)でグラフが途切れている場合(この場合\(a=0\)です), 1. の近づけ方と2. の近づけ方で\(f(x)\)の極限が異なります.

そこで, 1. の場合を右側極限といい, \(x\to a+0\)と表し, 同様に

2. の場合を左側極限といい, \(x\to a-0\)と表します.

特に, \(a=0\)のときはそれぞれ\(x\to+0\), \(x\to-0\)と書きます.

右側, 左側極限が一致しているとき, その値を\(x\to a\)での極限といい,

\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = \lim_{x\to a+0} f(x) = \lim_{x\to a-0}f(x)\)

となります.

上のグラフの例では,

\begin{align*}
\lim_{x\to +0} f(x) &= 2\\
\lim_{x\to -0} f(x) &= 0
\end{align*}

で,

\begin{align*}
\lim_{x\to 0}f(x)
\end{align*}

は存在しません.

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