導関数の定義と例

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導関数の定義と例

導関数

関数 \(y=f(x)\) がある区間内の各点\(x\)で微分可能なとき, その微分係数 \(f^\prime(x)\) は\(x\)の関数になります.

これを \(f^\prime(x), y^\prime, \dfrac{dy}{dx}\)などと書き, \(f(x)\)の導関数といいます.

微分係数の定義から, 導関数は

\begin{align*}
f^\prime(x) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{align*}

となります.

また, \(f(x)\)から\(f^\prime(x)\)を求めることを, \(f(x)\)を\(x\)で微分するといいます. 

導関数の計算例

(1) \(f(x)=x\)の導関数は

\begin{align*}
f^\prime(x) &= \lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h) – x}{h}\\
&= \lim_{h\to 0}\dfrac{h}{h}\\
&= \lim_{h\to 0} 1\\
&= 1
\end{align*}

(2) \(g(x)=x^2\)の導関数は

\begin{align*}
g^\prime(x) &= \lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}\\
&= \lim_{h\to 0}\dfrac{2xh+h^2}{h}\\
&= \lim_{h\to 0} (2x+h)\\
&= 2x
\end{align*}

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