初等関数の導関数

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初等関数の導関数

今回は, 高校までで扱う基本的な関数の導関数を紹介します.

導関数の定義についてはこちら.

1.  定数関数 \(f(x)=c\)

\((c) ^\prime = 0\)

2.  \(n\)次の単項式(\(n\)は自然数) \(f(x)=x^n\)

\((x^n)^\prime = nx^{n-1}\)

3.  2. は\(n\)の部分が0でない実数のときも成り立ちます.

例えば,  \(\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}\) の導関数は \(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)

4. 指数関数(\(a>0\), \(a\neq 1\)) \(f(x)=a^x\)

\((a^x)^\prime = a^x\log_{e}{a}\)

特に, \(a=e\)のとき

\((e^x)^\prime = e^x\)

ここで, \(e\)はネイピア数(自然対数の底)です.

5. 対数関数(\(a>0\)) \(f(x)=\log_{a}{x}\)

\((\log_{a}{x})^\prime = \dfrac{1}{x\log_{e}{a}}\)

特に, \(a=e\)のとき,

\((\log_{e}{x})^\prime = \dfrac{1}{x}\)

6. 三角関数 \(f(x)=\sin{x}, \cos{x}, \tan{x}\)

\((\sin{x})^\prime = \cos{x}\)

\((\cos{x})^\prime = -\sin{x}\)

\((\tan{x})^\prime = \dfrac{1}{\cos^2{x}} = 1+\tan^2{x}\)

\(\left(\dfrac{1}{\tan{x}}\right)^\prime = -\dfrac{1}{\sin^2{x}} = -\left(1+\dfrac{1}{\tan^2{x}}\right)\)

2. は導関数の定義から, 高校数学で簡単に求まりますが, \(n\)を実数に拡張した 3. は高校数学では証明できません (高校数学では実数の厳密な定義がされないため).

厳密な定義を用いれば, \(n\)が整数から有理数, 実数の順にこの公式を証明できます.

実際に複雑な関数の微分をする場合は, これらの基本的な導関数に加えて, 「関数の積の導関数」や「合成関数の導関数」, 「逆関数の導関数」などいろいろな公式を利用することになります.

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