微分の公式の導出

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微分の公式の導出

以前の記事で, 「微分の公式」を紹介したので, ここではその導出をします.

1. 積の微分                \(h(x)=f(x)g(x)\)  のとき\(h^\prime(x)=f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)\)

2. 逆数の微分             \(h(x)=1/f(x)\)  のとき \(h^\prime(x) = -\dfrac{f^\prime(x)}{\{f(x)\}^2}\)

3. 商(分数型)の微分     \(h(x)=g(x)/f(x)\)  のとき \(h^\prime(x) = \dfrac{f(x)g^\prime(x)-f^\prime(x)g(x)}{\{f(x)\}^2}\)

4. 合成関数の微分        \(h(x)=g\circ f(x)=g(f(x))\)  のとき \(h^\prime(x) = g\prime(f(x))\cdot f^\prime(x)\)

5. 逆関数の微分           \(y = h(x)=f^{-1}(x)\)  のとき \(h^\prime(x) = \dfrac{1}{f^\prime(y)}\)

すべて導関数の定義から求まります.

1.積の微分

まず \(h(x) = f(x)g(x)\) を導関数の定義式に代入すると,

\begin{align*}
h^\prime(x) &= \lim_{k\to 0} \dfrac{h(x+k)-h(x)}{k}\\
&= \lim_{k\to 0} \dfrac{f(x+k)g(x+k)-f(x)g(x)}{k}
\end{align*}となります. 極限をとるための文字は混乱を避けるため \(h\) ではなく \(k\) を使うことにします.

ここで, 「同じものを引いて足しても変わらない」ということを用いて, 右辺の分子から \(f(x+k)g(x)\) を引いて, 同じものを足して変形していきます.

\begin{align*}
h^\prime(x) &= \lim_{k\to 0} \dfrac{f(x+k)g(x+k) – f(x+k)g(x) + f(x+k)g(x) – f(x)g(x)}{k}\\
&= \lim_{k\to 0}\left\{\dfrac{f(x+k)g(x+k)-f(x+k)g(x)}{k} + \dfrac{f(x+k)g(x)-f(x)g(x)}{k}\right\}\\
&= \lim_{k\to 0}\left\{f(x+k)\cdot\dfrac{g(x+k)-g(x)}{k} + \dfrac{f(x+k)-f(x)}{k}\cdot g(x)\right\}
\end{align*}

さて, \(k\to 0\)のとき,

\begin{align*}
f(x+k) &\to f(x)\\
\dfrac{g(x+k)-g(x)}{k} &\to g^\prime(x)\\
\dfrac{f(x+k)-f(x)}{k} &\to f^\prime(x)
\end{align*}

なので, (2つ目, 3つ目はそれぞれ導関数の定義式そのものになっています)

\begin{align*}
h^\prime(x) = f(x)g^\prime(x) + f^\prime(x)g(x)
\end{align*}

ここで使った, 「同じものを足して引く」という変形は, 高校数学ではあまり使いませんが, 大学の微積分ではよく使うテクニックです.

2. 逆数の微分

\(h(x) = \dfrac{1}{f(x)}\) を導関数の定義式に代入して通分すると,

\begin{align*}
h^\prime(x) &= \lim_{k\to 0}\dfrac{\frac{1}{f(x+k)} – \frac{1}{f(x)}}{k}\\
&= \lim_{k\to 0} \dfrac{1}{f(x)f(x+k)}\cdot\dfrac{f(x)-f(x+k)}{k}
\end{align*}となります. ここで,

\begin{align*}
\lim_{k\to 0} f(x+k) &= f(x)\\
\lim_{k\to 0} \dfrac{f(x)-f(x+k)}{k} &= \lim_{k\to 0} -\dfrac{f(x+k)-f(x)}{k}\\
&=-f^\prime(x)
\end{align*}なので(ここでも2つ目の式は導関数の定義式を使って), \(h(x)\) の導関数は
\begin{align*}
h^\prime(x) &= \dfrac{1}{f(x)f(x)}\cdot \{-f^\prime(x)\}\\
&= -\dfrac{f^\prime(x)}{\{f(x)\}^2}.
\end{align*}

3.商(分数型)の微分

\(h(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}=\dfrac{1}{f(x)}\cdot g(x)\)$ と2つの関数の積と見做すことができるので, 1. の積の微分公式を当てはめると,
\begin{align*}
h^\prime(x) &= \left\{\dfrac{1}{f(x)}\cdot g(x)\right\}^\prime\\
&= \left\{\dfrac{1}{f(x)}\right\}^\prime g(x) + \dfrac{1}{f(x)}\cdot g^\prime(x).
\end{align*}

\(\dfrac{1}{f(x)}\) の微分 \(\left\{\dfrac{1}{f(x)}\right\}^\prime = -\dfrac{f^\prime(x)}{\{f(x)\}^2}\) は 2. でわかっているので, 代入すると

\begin{align*}
h^\prime(x) &= -\dfrac{f^\prime(x)}{\{f(x)\}^2}\cdot g(x) + \dfrac{g\prime(x)}{f(x)}\\
&= \dfrac{-f^\prime(x)g(x) + g^\prime(x)f(x)}{\{f(x)\}^2}\\
&= \dfrac{f(x)g^\prime(x) – f^\prime(x)g(x)}{\{f(x)\}^2}
\end{align*}

4. 合成関数の微分

ここでは厳密な証明ではなく, 考え方を説明します.

とりあえず \(h(x) = g(f(x))\) を導関数の定義式に代入します.

\begin{align*}
h^\prime(x) &= \lim_{k\to 0}\dfrac{g(f(x+k)) – g(f(x))}{k}.
\end{align*}

ここで, \(y = f(x), \Delta y = f(x+k) – f(x)\) とおくと, \(f(x+k) = y+\Delta y\) なので,

\begin{align*}
h^\prime(x) = \lim_{k\to 0} \dfrac{g(y+\Delta y) – g(y)}{k}
\end{align*}

導関数の定義式のような形をつくりたいので,

\begin{align*}
h^\prime(x) &= \lim_{k\to 0} \dfrac{g(y+\Delta y)-g(y)}{\Delta y}\cdot\dfrac{\Delta y}{k}\\
&= \lim_{k\to 0} \dfrac{g(y+\Delta y)-g(y)}{\Delta y}\cdot\dfrac{f(x+k)-f(x)}{k}
\end{align*}

とすると,

\(k\to 0\) のとき \(\Delta y = f(x+k)-f(x)\to 0\) なので

\begin{align*}
\dfrac{g(y+\Delta y)-g(y)}{\Delta y} &\to g^\prime(y)\\
\dfrac{f(x+k)-f(x)}{k} &\to f^\prime(x)
\end{align*}

より,

\begin{align*}
h^\prime(x) = g^\prime(y)f^\prime(x) = g^\prime(f(x))f^\prime(x)
\end{align*}

逆関数の微分

\(h(x) = f^{-1}(x)\) の導関数は

\begin{align*}
h^\prime(x) =\lim_{k\to 0} \dfrac{f^{-1}(x+k) – f^{-1}(x)}{k}
\end{align*}

ここで, \(y=f^{-1}(x), \Delta y = f^{-1}(x+k)-f^{-1}(x)\) とおくと, \(f^{-1}(x+k) = f^{-1}(x)+\Delta y = y+\Delta y\) より, \(x+k = f(y+\Delta y)\).

よって, 分母の \(k\) は \(f(y+\Delta y) – f(y)\) と書ける.

これを用いて,

\begin{align*}
h^\prime(x) &= \lim_{\Delta y\to 0} \dfrac{\Delta y}{f(y+\Delta y)-f(y)}\\
&= \dfrac{1}{f^\prime(y)}\\
&= \dfrac{1}{f^\prime(f^{-1}(x))}.
\end{align*}

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