中線定理

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中線定理

定理.

\(\triangle ABC\) において,

辺 \(BC\) の中点を \(M\) とするとき,

\begin{align*}
AB^2+AC^2 = 2(AM^2+BM^2)
\end{align*}

定理の名前になっている中線とは, 三角形の頂点と対辺の中点を結ぶ線分(上の図では\(AM\))のことです.

この定理を使うと, 中線の長さを求められます.

例.

\(AB=15, BC=14, CA=13\) のとき, \(AM\)の長さを求める.

中線定理より

\begin{align*}
15^2 + 13^2 &= 2(7^2+AM^2)\\
225+169&= 2(49+AM^2)\\
AM^2 &= 148\\
\therefore AM &= 2\sqrt{37}
\end{align*}

中線定理の証明.

中線定理は, 三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いて, 以下のように簡単に証明できます.

まず \(A\) から辺 \(BC\) に下ろした垂線の足を \(H\) とします. ここでは, \(B, M, H, C\) の順に並んでいる場合を考えます.

3つの直角三角形 \(\triangle{ABH}, \triangle{ACH}, \triangle{AMH}\) について三平方の定理より,

\begin{align}
AB^2 = AH^2 + BH^2
\end{align}

\begin{align}
AC^2 = AH^2 + CH^2
\end{align}

\begin{align}
AM^2 = AH^2 + MH^2
\end{align}

また, \(BH = BM + MH\), \(CH = CM – HM = BM – MH\) であることも使って,

\begin{align*}
AB^2+AC^2 &= (AH^2+BH^2) + (AH^2+CH^2)\\
&= 2AH^2+BH^2+CH^2\\
&= 2AH^2+(BM+MH)^2+(BM-MH)^2\\
&= 2AH^2+2BM^2+2MH^2\\
&= 2\{BM^2+(AH^2+MH^2)\}\\
&= 2(BM^2+AM^2)
\end{align*}

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